做题记录 25.10.26

\(\textcolor{purple}\odot\) P12705 呃呃

考虑维护 \(b_{u,v}=\sum_k [a_{k,u}\land a_{k,v}]\)，则存在四元环当且仅当存在 \(b_{u,v}>1\)

对于 \(a\) 的单点修改，容易 \(O(n)\) 维护 \(b\) 和 \(>1\) 的数量，初始计算 \(b\) 的复杂度为 \(\sum deg_u^2\)，总复杂度为 \(O(\sum deg_u^2+qn)\)

当 \(\sum \binom{deg_u}2>\binom n2\) 时，根据鸽巢原理必有 \(b_{u,v}>1\)

因此可以开始时维护 \(\sum \binom{deg_u}2\)，当第一次 \(\sum \binom{deg_u}2\le \binom n2\) 时，预处理 \(b\)，然后按正常方式维护

另一种实现为每次修改对 \(\sum \binom{deg_u}2\) 的影响都不超过 \(4n\)，因此若初始 \(\sum \binom{deg_u}2-4nq>\binom n2\) 则全都存在，否则按正常方式维护

两者时间复杂度都是 \(O(n^2+qn)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) P12429 [BalticOI 2025] Developer

显然合法的 \(b\) 将极长同值连续段缩为一个值后为上下交替的

朴素 \(dp\) 为令 \(f_{i,j,0/1}\) 表示确定了 \(b_{1\sim i}\)，\(b_i=j\)，最后一段为上升/下降，转移是容易的，时间复杂度 \(O(nV^2)\)，容易做到 \(O(nV)\)

可证 \(j\) 只需要取 \(a_{i-4\sim i+4}+[-1\sim 1]\) 即可（一共至多 \(27\) 种取值）

时间复杂度 \(O(n)\)，常数约 \(27^2\)，容易将常数优化到 \(27\) 左右

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\(\textcolor{purple}\odot\) P12555 [UOI 2024] AND Array

先忽略所有 \(a_i=0\)（它们对答案的影响是容易处理的）

显然对于一个 \(f(s,p)\)，\(a>0\) 的情况下 \((x,res)\) 的总修改次数为 \(O(b)\) 的，若能对于一个 \(i\)，快速处理 \(x\) 下一个选择的位置为 \(f_x\)，则 \((i,x,res)\to (f_x,x\mid a_{f_x},res+f_x)\)

显然需要满足 \(f_x=\min_{j\ge i,a_j\subset x} j\)，考虑定期重构，同时扫描过程中维护每个值上一次出现，每次重构容易用高维前缀和做到 \(O(b2^b)\)

设每 \(B\) 次操作后重构，则时间复杂度 \(O(\frac nB\cdot b2^b+nb(b+B))\)，取 \(B=2^{\frac b2}\) 则时间复杂度 \(O(nb^2+nb2^{\frac b2})\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) P12058 [THUPC 2025 决赛] 三元链

容易发现两种模式：

##.  ##.
#.#  ..#
.##

在水平方向上是重复的，在竖直方向上，设前者有 \(a\) 个，后者有 \(b\) 个，则 \(\begin{cases}3a+2b=n\\ 2a+b=k\end{cases}\)，从而 \(a=2k-n,b=2n-3k\)，若 \(a\ge 0,b\ge 0\) 则可用此方法构造

可证 \(n\ge 4\) 时，其他情况都无解

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\(\textcolor{purple}\odot\) P11900 不知道

倒序考虑，令 \(f_{i,j}\) 表示还剩 \(i\) 个人，最终剩下的是其中第 \(j\) 个的概率，令 \(a_i=\sum_p [t_p<i]\)，\(b_i=\sum_p [t_p\le i]\)，则有

\[f_{i,j}=\frac{ a_j f_{i-1,j-1} +(b_i-a_j) f_{i-1,j} }{b_i} \]

答案为 \(f_{n,1\sim n}\)

将 \(\prod_i \frac1 {b_i}\) 提出，转移变为

\[f_{i,j}= a_j f_{i-1,j-1} +(b_i-a_j) f_{i-1,j} \]

可证

\[f_{i,j}=\prod_{p=2}^j a_p \prod_{p=j+1}^i(b_i-b_1) \]

容易 \(O(n)\) 求出所有答案

代码

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