2025.10.22 NOIP 模拟赛 题解

1比赛

订正

T1 P130074 春

题意

给定长度为 \(n\) 的序列，每次删去一个元素，每次操作后求出所有极长连续段的最大值之和，输出所有答案的异或和，\(n\le2\times10^6\)

分析

逆序操作，转化为加入，维护数组 \(p,mx\)，对于每个极长连续段 \([l,r]\) 令 \(p_l=r,p_r=l\)，\(mx_l=\max a_{l\sim r}\)

容易做到 \(O(n)\)

代码

T2 P130075 夏

题意

给定 \(k_{1\sim n},b_{1\sim n},a_{1\sim t}\)，对于每个 \(a_i\)，求出 \(\sum_{j=1}^n [k_ji+b_j\le l][a_i\mid (k_ji+b_j)]\)，\(n,l,k_i,b_i,a_i\le 10^5\)

分析

先对 \(k_i\) 根号分治，设阈值为 \(B\)，则 \(k_i>B\) 的部分容易做到 \(O(n\cdot \frac lB)\)

然后枚举 \(k\)，设 \(k_i=k\) 的 \(i\) 的集合为 \(S\)，已经排序

对于 \(a_j>B\) 的部分，\(j\) 和 \(k\) 确定时，\(b\) 取值为等差数列，容易用桶做到 \(O(\sum_{k=1}^B \frac lk\frac lB)=O(\frac{l^2}B\ln B)\)

对于 \(a_j\le B\) 的部分，预处理 \(cc_{i,j}=\sum_{u\in B}[u\bmod i=j]\)，精细实现可以做到 \(O(nB+\sum_{k=1}^B \frac lk)=O(nB+l\ln B)\)

总时间复杂度 \(O(n\cdot \frac lB+\frac{l^2}B\ln B+nB+l\ln B)\)，假定 \(n,l\) 同阶，取 \(B=\sqrt{n\ln n}\) 可以做到 \(O(n\sqrt{n\ln n})\)

代码

T3 P130076 秋

题意

给定 \(a_{1\sim 2n}\)，保证 \(1\sim n\) 分别恰好出现两次，对于每个 \(i\)，求出包含 \(i\)，且只包含值 \(a_i\) 恰好一次，且其它值恰好包含偶数次的区间数量，\(n\le5\times10^5\)

分析

先考虑每个值第一次出现处的答案，反过来做一遍可以得到完整答案

此时枚举右端点 \(r\)，则唯一合法的 \(i\) 为 \([1,r]\) 中最后一个恰好出现一次的位置，对于每个 \(r\) 找到 \(i\) 是容易的

令 \(S_i\) 为 \(a_{1\sim i}\) 的可重集，转化为求出 \(\sum_{i=1}^r [S_i=S_r/\{a_i\}]\)，使用异或哈希即可

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

T4 P130077 冬

题意

给定两棵大小分别为 \(n,m\) 的树 \(A,B\)，判断 \(B\) 是否作为一个连通块在 \(A\) 中出现（无根，忽略编号），\(m\le n\le1000\)，多测 \(T\le10\)

分析

假定 \(A\) 以 \(1\) 为根，对于每个 \(2\le i\le m\)，\(B\) 中可能出现 \(\text{subtree}(i)\) 和 \(B/\text{subtree}(i)\) 两种，总计 \(2(m-1)\) 种可能的子树

令 \(f_{u,i}\) 表示 \(A\) 的子树 \(u\) 是否能匹配 \(B\) 的第 \(i\) 种子树，转移时枚举 \(u\) 的所有儿子和 \(B\) 中删去 \(i\) 后剩余子树的编号集合，两者之间尝试匹配，若存在后者的完美匹配则找到解，若匹配大小小于 \(deg(i)-1\) 则跳过，否则找出非必经点并转移

时间复杂度 \(O(T\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m d_id_j\sqrt{d_i+d_j})=O(T nm\sqrt{n+m})\)

代码

比赛结果

\(100+100+30+10\)，\(\text{rk}14\)