做题记录 25.10.23

\(\textcolor{black}\odot\) P5294 [HNOI2019] 序列 \(\quad\) LOJ #3059. 「HNOI2019」序列

先考虑静态的情况

根据 IOI2018 集训队论文高睿泉《浅谈保序回归问题》可得以下做法：

保存一个单调栈，栈中元素为 \((l,r,s)\)，从栈底到栈顶 \(\frac s{r-l+1}\) 单调递增
从左到右扫描序列，将 \((i,i,a_i)\) 加入栈顶
若不满足单调性则合并（\((l,r,s)+(r+1,t,s_2)\to (l,t,s+s_2)\)）栈顶两个元素，直到满足单调性
答案为 \(\sum_{(l,r,s)} \sum_{i=l}^r\left(a_i-\frac s{r-l+1}\right)^2\)

这样得到一个 \(O(qn)\) 的算法

然后考虑修改的情况

对于修改 \((i,k)\)，设 \([1,i-1]\) 得到的区间为 \(\{(l,r,s)\}_{i=1}^l\)，\([i+1,n]\) 得到的区间为 \(\{(L,R,S)\}_{i=1}^R\)（逆序排列），两者使用主席树存储

令 \(avg_l(i)=\frac{s_i}{r_i-l_i+1}\)，\(avg_r(i)=\frac{S_i}{R_i-L_i+1}\)，令 \(avg_m(i,j)=\frac{\sum_{i=r_i+1}^{L_j-1}a_i}{L_j-r_i-1}\)

从大到小枚举 \(R_0=R\sim 0\)，对于每个 \(R_0\)，求出最小的 \(L_0\) 使得 \(avg_l(L_0)<avg_m(L_0,R_0)\)，若得到的 \(avg_m(L_0,R_0)<avg_r(R_0)\) 则答案的分组为 \(\{(l,r)\}_{i=1}^{L_0},(r_{L_0}+1,L_{R_0}-1),\{(L,R)\}_{i=1}^{R_0}\)

可证 \(R_0\) 一定时 \(L_0\) 单调，可证 \(R_0\) 单调

外层二分，内层主席树上二分，总时间复杂度 \(O(n\log n +q\log^2 n)\)

若离线则可以用扫描线等代替主席树

代码：luogu \(\quad\) LOJ

参考

QOJ #14549. 造桥与砍树

即边权为 \((t_u+t_v)\bmod k\) 的 \(\text{MST}\)

考虑 \(\text{Boruvka}\) 算法，每次需要枚举 \(u\)，在当前连通块外找到 \((t_u+t_v)\bmod k\) 最小的 \(v\)

令 \(S\) 为当前连通块外的 \((t_v\bmod k,u)\) 的集合（初始加入所有，枚举到一个连通块时从中删除，处理完后撤销），对于当前的 \(u\)，找到第一个 \(v\ge k-(t_u\bmod k)\) 的 \((v,u)\)，若不存在则找最小的

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) P11483 [NordicOI 2021] The Elk

边双缩点，不在对应路径上的点合法

时间复杂度 \(O(n+m)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) P11604 [PA 2016] 卡牌 / Gra w karty

建立 \(2n\) 个点的二分图，若 \(x>y\) 则 \(L(x)\to R(y)\)，否则 \(L(x)\gets R(y)\)，则可证 \(A\) 赢当且仅当存在入度为 \(n\) 的右部点，\(B\) 赢当且仅当不存在入度为 \(n\) 的右部点且存在入度为 \(n\) 的左部点，否则平局

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P11505 [NordicOI 2018] Mysterious Array

处理出每个位置的下界 \(t_i\)，容易用 set 或 \(\text{ST}\) 表等做到 \(O(n\log n)\)

从小到大填数，设当前填 \(v\)，若存在 \(=v\) 的限制，取这些限制的区间交为 \([L,R]\)，则 \([L,R]\) 中必然有一个为 \(v\)，当前位有 \(\sum_{i=L}^R [t_i=v]\) 种填法，否则当前位有 \(\sum_{i=1}^n[t_i\le v]-(v-1)\) 种填法

容易做到 \(O(n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P11497 [ROIR 2019] 自动仓库 (Day 1)

显然操作次数为 \(O(n+m)\) 的，且容易构造，为了求出具体方案，转化为对于每个位置，求出它到下一个相同值位置之间，出现的种类数

询问左端点连续递增，因此树状数组维护所有位置值是否为最后一次出现，时间复杂度 \(O((n+m)\log(n+m))\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P11645 【MX-X8-T4】「TAOI-3」Warmth of the Eternity

令 \(S_i\) 表示 \(i\) 的 \(d_i\) 个连通块大小的可重集

当 \(n-1\in S_i\) 时，显然 \(i\) 为叶子，令 \(c_i=\sum_{u\in S_i}[u=1]\)，则贡献为 \(\binom{\sum c_i}{c_1,c_2,\cdots,c_n}\)

然后考虑 \(n-2\in S_i\) 的情况，令 \(C_i=\sum_{u\in S_i}[u=2]\)，贡献为 \(\binom{\sum C_i}{C_1,C_2,\cdots,C_n}\)

依次类推，可得其它的贡献

发现 \(\sum c_i=\sum_{i=1}^n \sum_{u\in S_i}[u=i-1]\)，令 \(S=\bigcup S_i\)，则答案为 \(\prod_{2i>n} (\sum_{u\in S}[u=n-i])! \prod_{2i\le n} \prod_{j=1}^n \frac1{(\sum_{u\in S_j}[u=i])!}\)

容易 \(O(n)\) 求出答案

代码

参考