2025.10.18 NOIP 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P130067 删数游戏

题意

给定递增的 \(a_{1\sim n}\)，若 \(a_i\equiv i\pmod 2\) 则可删去 \(a_i\)，并令后面的值向前平移，求可删去的最大数量并给出字典序最大的删除顺序（值而不是下标），\(n\le10^5\)

分析

选择最后一个满足 \(a_i\equiv i\pmod 2\) 的位置删去，显然字典序最大，且这样操作后它之后所有位置都变为合法，从后往前依次删去，显然字典序最大

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

T2 P130068 货币改革

题意

定义一个集合 \(S\) 可表出 \(k\) 当且仅当存在 \(c_{1\sim k}\) 使得 \(\sum c=k\) 且 \(\forall i,c_i\in S\)，给定 \(c_{1\sim n}\)，对于每个前缀，求出不能表出的最大值或判定不存在上界，保证 \(c_{1\sim n-1}\ge 2,c_n=1\)，\(n\le100\)，\(c_i\le400000\)

分析

同余最短路模板，使用 \(\text{dp}\) 或 \(\text{SPFA}\) 可过

时间复杂度 \(O(nV)\)

代码

T3 P130069 机场代码

题意

给定字符串 \(s\)，令 \(f(l,r,k)\) 表示 \(s[l:r]\) 所有长度为 \(k\) 的自序列中字典序最小的，\(q\) 次询问，每次给定 \(l_1,r_1,k_1,l_2,r_2,k_2\)，求出 \(f(l_1,r_1,k_1)\) 和 \(f(l_2,r2,k_2)\) 之间的大小关系，\(|s|\le10^6,q\le10^5\)，字符集取全体大写字母

分析

显然最优情况为每次取出 \([l,r-k+1]\) 中最小的字符，然后 \(k\) 减一，并令 \(l\) 移到上一个选择的之后

因此每个 \(f(l,r,k)\) 为 \(\text A^{X_0}\text B^{X_1}\text C^{X_2}\cdots \text Z^{X_{25}}s[L:r]\) 的形式，其中 \(X_i\ge 0\) 且尽量取到最大，比较容易做到 \(O(q(\log |s|+|\sum|))\)，求出该形式可以二分做到 \(O(|\sum|\log|s|)\)

总时间复杂度 \(O(\sum (|s|+q|\sum|\log|s|))\)

代码

T4 P130070 树切割游戏

题意

给定一棵 \(n\) 个点的树，\(q\) 次询问，每次删去一条边，加入一条边，保证修改后还是树，标记加入的边，双方轮流操作，每次选择一条未标记过的边标记，要求任意时刻所有被标记的边在一条链上（可以不连通），判断必胜方，所有修改之间独立，\(n,q\le10^5\)

分析

显然加入边的两端独立，考虑分别计算出两侧的 \(\text{SG}\) 函数值

先考虑根为 \(1\) 的情况，令 \(f_u\) 表示子树 \(u\) 内的 \(\text{SG}\) 函数，则

\[f_u=\text{mex}_{t\in\text{subtree}(u)} \{f_t\oplus ((dep_t-dep_u-1)\bmod 2)\} \]

令 \(S_u=\{f_t\oplus ((dep_t-dep_u-1)\bmod 2)\mid {t\in\text{subtree}(u)}\}\)

对于 \(u\) 和它的一个儿子 \(v\)，若 \(f_v=2k\) 显然 \(0\sim 2k-1\) 都在 \(S_v\) 中，因此 \(0\sim 2k\) 都在 \(S_u\) 中，若 \(f_v=2k+1\) 可得 \(0\sim 2k-1\) 和 \(2k+1\) 都在 \(S_u\) 中

因此令 \(ss=\{f_v\mid v\in\text{son}(u)\}\)，若 \(\max ss-1\in ss\) 且 \(2\nmid \max ss\)，则 \(f_u=\max ss+1\)，否则 \(f_u=\max ss\oplus 1\)

这样可以做到 \(O(nq)\)

通过各种方式可优化到 \(O((n+q)\log n)\)

代码

比赛结果

\(100+100+25+40\)，\(\text{rk}11\)