做题记录 25.10.17

\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc027_e [AGC027E] ABBreviate

设最终将 \(s\) 缩为字符串 \(t\)，则 \(t\) 的每个字母对应 \(s\) 的一个区间，即 \(s\) 对应区间可以缩为一个字母，考虑怎样的字符串可以缩为一个字母

令 \(\text a\) 为 \(1\)，\(\text b\) 为 \(2\)，在 \(\bmod 3\) 意义下求前缀和，显然题目的操作不改变整个字符串 \(\bmod 3\) 意义下的总和，因此若一个字符串 \(\bmod 3\) 下和为 \(0\)，则必然不能缩为一个字母

显然字符串 \(\text a\text b\) 交错时也不能缩为一个字母（除非初始长度就是 \(1\)）

定理 \(\text 1\)：对于 \(n=|s|>1\) 的 \(s\)，若 \(\sum_i (1+[s_i=\text b])\equiv 0\pmod 3\) 且存在 \(1\le k<n\) 使得 \(s_k=s_{k+1}\)，则 \(s\) 必然可以缩为一个字母

证明：

• 不妨设 \(s_k=s_{k+1}=\text a\) 且 \(k\) 为第一个合法位置
• 当 \(|s|=2\) 时显然
• 否则若 \(k=1\) 且合并 \(s_k\) 与 \(s_{k+1}\) 后无法进一步操作，说明初始 \(s_{1\sim 3}=\text a\) 导致合并后为 \(\text b\text a\cdots\)，因为总和 \(\bmod 3\) 不为 \(0\)，因此 \(|s|>3\)，又合并 \(s_{1\sim 2}\) 后无法进一步操作，因此 \(s_4=\text b\)，此时可以选择合并 \(s_2\) 和 \(s_3\)，合并之后前缀为 \(\text a\text b\text b\)，可以进一步操作
• 若 \(1<k\le n-1\) 且合并后无法进一步操作，则说明 \(s_{k-1\sim k+1}=\text a\)，此时 \(k\) 不是第一个合法位置，不满足前提
• 综上，若存在 \(1\le k<n\) 满足条件，则一定存在操作方案使得 \(|s|\) 减一后仍然存在 \(0\le k<|s|\) 满足条件，因此可以反复合并直到长度为 \(1\)，即缩为一个字母

显然最终得到的字母与初始的字符串总和 \(\bmod 3\) 相同，若初始串总和 \(b\bmod3\) 为 \(1\) 则缩为 \(\text a\)，若为 \(2\) 则缩为 \(\text b\)

因此对于一个字符串，无论是否满足存在相邻相同字符，其理论上能缩到的字符都是确定的

特判初始的 \(s\) 就是 \(\text a\text b\) 交替的情况，显然此时答案为 \(1\)

定理 \(\text 2\)：假设在不满足存在相邻相同字符的情况下 \(s\) 缩为 \(t\)，则一定存在合法的操作方法同样能得到 \(t\)

证明：

• 假设得到 \(t\) 的过程中 \(s\) 划分为 \([l_i,r_i]\mid 1\le i\le m\)
• 若存在 \([l_k,r_k]\) 使得 \(s_{l_k\sim r_k}\) 中不存在相邻相同字符
• 若 \(l_k=r_k\) 则其合法
• 否则若 \(k<m\)，则必然有 \(\sum_{i=l_k}^{r_k}(1+[s_i=\text b])\not\equiv 0\pmod 3\)，不妨设缩为 \(\text a\)，则 \(r_k-l_k+1\) 必然为奇数且 \(s[l_k:r_k]=\text{abab}\cdots\text{aba}\)，此时显然可以保留 \(\text a\) 而把剩下的 \((\text{ba})^k\) 移到下一段，显然该过程不改变最终得到的 \(t\) 且使 \([l_k,r_k]\) 合法
• 若 \(k=m\)，则向前面移动，显然不是 \(\text a\text b\) 交替的 \(s\) 串的划分中，前面一定存在一个合法的段使得向前移动的过程中止

令 \(p_i=\sum_{j=1}^i (1+[s_j=\text b])\bmod 3\)，则转化为每次可以选择一个 \([l,r]\) 满足 \(p_r\ne p_{l-1}\)，将 \(s[l:r]\) 替换为 \((p_r-p_{l-1})\bmod 3\)

令 \(f_i\) 表示 \([1,i]\) 的答案，令 \(pr_{i,j}\) 表示 \([1,i)\) 中最后一个 \(p_x=j\) 的 \(x\)，不存在则为 \(0\)，则 \(f_i=[p_i\ne 0]+\sum_{c=0}^2[p_i\ne c]f_{pr_{i,c}}\)，正确性显然

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) AT_arc188_d [ARC188D] Mirror and Order

显然 \(s_{1\sim n}\) 中 \(1\sim n\) 开头的分别有恰好一个，\(t_{1\sim n}\) 中 \(1\sim n\) 开头的分别有恰好一个，即 \(s\cup t\) 中 \(1\sim n\) 开头的分别有恰好两个，因此排名 \(2i-1\) 和 \(2i\) 的必然都以 \(i\) 开头

显然 \(2i-1\) 和 \(2i\) 不能同时属于 \(a\) 或 \(b\)，特判这种情况答案为 \(0\)

令初始第 \(i\) 个序列中间一项为 \(c_i\)

显然若 \(a_x=2i-1,b_y=2i\) 则 \(c_x<c_y\)，反之若 \(a_x=2i,b_y=2i-1\) 则 \(c_x>c_y\)

令小的 \(c\) 向大的连边，对于确定的 \(b\)，显然得到的图视为无向图后所有连通块都是环，若存在有向环则无解

考虑重排所有 \((a_i,b_i)\mid_{i=1}^n\)，使得 \(\left\lceil \frac{a_i}2\right\rceil=i\)，设此时 \(\left\lceil\frac{b_i}2\right\rceil=p_i\)（若 \(b_i=-1\) 则 \(p_i=-1\)）

则 \(i\to p_i\) 当且仅当 \(2\mid a_{p_i}\)，\(i\gets p_i\) 当且仅当 \(2\nmid a_{p_i}\)

要求不能有一个环内方向都相同，即要求一个环内 \(a_{p_i}\) 奇偶性不完全相同

遍历所有已经确定的环，若存在奇偶完全相同则答案为 \(0\)

去掉环后剩余若干链，设其中 \(2\mid a_{p_i}\) 的有 \(c_0\) 条，\(2\nmid a_{p_i}\) 的有 \(c_1\) 条，二者兼有的有 \(c_2\) 条

转化为 \(c_0\) 个红色点，\(c_1\) 个蓝色点，\(c_2\) 个双色点，要将它们组合为若干环，使得不存在一个环为同色的

考虑容斥，钦定有 \(k\) 个红色环，它们由 \(i\) 个红色点组成，钦定有 \(l\) 个蓝色环，它们由 \(j\) 个蓝色点组成，显然容斥系数为 \((-1)^k (-1)^l\)

令 \(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 个点组成 \(j\) 个环的方案数，则答案为

\[\sum_i\sum_j\sum_k\sum_l \binom{c_0}i\binom{c_1}j(-1)^k(-1)^l g_{i,k}g_{j,l} (c_0+c_1+c_2-i-j)! \]

其中 \((c_0+c_1+c_2-i-j)!\) 表示剩余 \(c_0+c_1+c_2-i-j\) 个点任意成环的方案数

令 \(f_i=\sum_j (-1)^j g_{i,j}\) 表示所有长度为 \(i\) 的排列 \(p\) 的 \((-1)^{s(p)}\) 之和，其中 \(s(p)\) 表示 \(p\) 的置换环数量，则答案为

\[\sum_i\sum_j \binom{c_0}i\binom{c_1}jf_if_j (c_0+c_1+c_2-i-j)! \]

可证 \(f_0=1,f_1=-1,f_{ge 2}=0\)，因此答案可 \(O(1)\) 算出

总时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考