做题记录 25.10.15

\(\textcolor{black}\odot\) CF1608F MEX counting

令 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(a_{1\sim i}\) 中，\(\le k\) 的值确定且其 \(\text{mex}\) 为 \(k\)，\(>k\) 的有 \(j\) 种值的方案数

初始 \(f_{0,0,0}=1\)，显然 \(f_{i,j,k}=0\;(k<b_i-k\lor k>b_i+k)\)，答案为 \(\sum_j \sum_k f_{n,j,k} P_{n-k}^j\)

考虑 \(f_{i,j,k}\) 的转移

若 \(\text{mex}\) 不变，新填的数 \(<k\) 的贡献为 \(f_{i+1,j,k}\gets k\cdot f_{i,j,k}\)，\(>k\) 且不新增值的贡献为 \(f_{i+1,j,k}\gets j\cdot f_{i,j,k}\)，新增值的贡献为 \(f_{i+1,j+1,k}\gets f_{i,j,k}\)

若改变，设变为 \(t\;\;(t>k)\)，则 \(f_{i+1,j-(t-k-1),t}\gets f_{i,j,k}P_j^{t-k-1}\)

暴力实现时间复杂度为 \(O(n^4)\)

显然 \(k\) 的取值只有 \(O(k)\)（题目给定的 \(k\)）种，因此容易做到 \(O(n^2k^2)\)，滚动数组做到空间 \(O(nk)\)

令 \(f_{i,j+k,k}\gets f_{i,j,k}\) 并整理转移方程，发现可以前缀和优化

时间复杂度 \(O(n^2k)\)，空间复杂度 \(O(nk)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) AT_arc117_e [ARC117E] Zero-Sum Ranges 2

以下用 \(m\) 表示题目给定的 \(k\)

对于确定的 \(a_{1\sim 2n}\)，令 \(s\) 为其前缀和，令 \(c_x=\sum_{i=0}^{2n}[s_i=x]\)，则合法 \((l,r)\) 数量为 \(\sum_x \binom{c_x}2\)

考虑按 \(s\ge 0\) 和 \(s<0\) 分为两部分，令 \(f_{i,j,k}\) 表示选择了一些值（从大到小加入），总数为 \(i\)，其中 \(\sum \binom{c_x}2\) 为 \(j\)，中间有 \(k\) 个断点，且 \(k+1\) 段之间的顺序没有确定的方案数

初始 \(f_{i,\binom i2,i-1}=1\)，答案为 \(\sum_i\sum_j\sum_k f_{i,j,k}f_{2n+1-i,m-j,k-1}\)

考虑转移，枚举下一层放置数量 \(l\)，显然 \(l\ge k+2\)，则新的 \(i\) 为 \(i+l\)，新的 \(j\) 为 \(j+\binom l2\)，新的 \(k\) 为 \(l-2-k\)，将这 \(l\) 个分为 \(k+2\) 部分，分别放置到空隙中，且每个空隙至少放一个，方案数为 \(\binom{l-1}{k+1}\)

时间复杂度 \(O(n^3m)\)

代码

参考