2025.10.12 炼石计划 week7 动规 讲课笔记

记录：1,2 \(\quad\) 3 \(\quad\) 12,8 \(\quad\) 6 \(\quad\) 9 \(\quad\) 10 \(\quad\) 11

题单：

https://www.mxoj.net/training/T1658?groupId=1124&returnUrl=/training/listForGroup?groupId=1124

列表：
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P11292
- [x] https://qoj.ac/problem/7419
- [x] https://qoj.ac/problem/9489
- [ ] https://www.luogu.com.cn/problem/CF506E
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P5642
- [x] https://qoj.ac/problem/8047
- [ ] https://www.luogu.com.cn/problem/P9499
- [x] https://qoj.ac/problem/3869
- [x] https://qoj.ac/problem/7606
- [x] https://qoj.ac/problem/6298
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P5904
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P7219

T4 CF506E Mr. Kitayuta's Gift

T5 P5642 人造情感（emotion）

令 \(f_u\) 表示子树 \(u\) 内选择若干不交路径的最大权值和，\(g_u\) 表示子树 \(u\) 外选择若干不交路径的最大权值，则 \(f(u,v)=\sum_{x\notin \text{path}(u,v),fa_x\in\text{path}(u,v)}f_x+g_{\text{lca}(u,v)}\)，两者总贡献容易计算（枚举 \(g_u\) 和 \(f_u\) 计算出现次数即可）

考虑如何计算 \(f\) 和 \(g\)

令 \(s_u=\sum_{v\in\text{son}(u)} f_v\)

将路径保存到端点的 \(\text{lca}\) 上，令 \(S_u=\{(x,y,w)\mid \text{lca}(u,v)=u\}\) 表示对应的路径集合

对于 \(f_u\)，若路径不经过 \(u\) 则 \(f_u\gets s_u\)，否则枚举它经过 \((x,y,w)\)，\(f_u\gets w+\sum_{p\in\text{path}(x,y)}\sum_{q\in\text{son}(p),q\notin\text{path}(x,y)}f_q=w+s_u-\sum_{p\in\text{path}(x,y),p\ne u}(f_p-s_p)\)，在 \(\text{dfs}\) 的过程中单点加 \(f_p-s_p\) 链查询，转化为子树加单点查询，用树状树组维护即可（当先计算后加入树状树组时，上部的差分可以省略），同时记录四元组 \((x,y,w,t)\)，其中 \(t=w+s_u-\sum_{p\in\text{path}(x,y),p\ne u}(f_p-s_p)\)，时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)

对于 \(g_u\)，设 \(v\) 为其儿子，从上往下转移，若路径不经过 \(u\) 则 \(g_v\gets g_u+s_u-f_v\)，若经过 \((x,y,w,t)\) 且 \(\text{lca}(x,y)=u\) 且 \(v\notin\text{path}(x,y)\)，则 \(g_v\gets g_v+w-f_v\)，将这部分路径按 \(w\) 从大到小排序，每个 \(v\) 暴力找到第一个满足要求的，显然复杂度正确，若经过 \((x,y,w,t)\) 且 \(\text{lca}(x,y)\ne u,u\in\text{path}(x,y)\) 且 \(v\notin\text{path}(x,y)\)，则 \(g_v\gets g_{\text{lca}(x,y)}+t-f_v\)，\(\text{dfs}\) 时用一棵线段树维护端点取对应结点时 \(g_{\text{lca}(x,y)}+t\) 的最大值，需要先计算再加入线段树

总时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)

代码

参考

T6 QOJ #8047. DFS Order 4

T7 P9499 「RiOI-2」change