做题记录 25.10.14

\(\textcolor{blue}\odot\) AT_arc104_d [ARC104D] Multiset Mean

令 \(1\sim n\) 减去 \(x\)，得到 \([1-x,-1],0,[1,n-x]\) 三个部分，其中 \(0\) 的部分数量任意，答案乘以 \(k+1\)，要求 \([1-x,-1]\) 和 \([1,n-x]\) 部分总和为 \(0\)，即从 \([1,x-1]\) 和 \([1,n-x]\) 中选出若干数使得和相等，答案需要减去 \(1\)，因为多算空集

令 \(f_{i,j}\) 表示值 \(1\sim i\) 中选择若干使得和为 \(j\) 的方案数，转移是容易的，容易前缀和优化到 \(O(n^3k)\)（显然 \(i=O(n),j=O(n^2k)\)）

总时间复杂度 \(O(n^3k)\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) AT_arc107_d [ARC107D] Number of Multisets

将数字从小到大排序，每次在末尾加入一个 \(1\) 或所有数字除以 \(2\)，令 \(f_{i,j}\) 表示数字 \(1\sim i\) 选择若干使得和为 \(j\) 的方案数，转移为 \(f_{i,j}\gets f_{i-1,j-1},f_{i,j}\gets f_{i,j+j}\)，按完全背包的顺序进行

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_arc179_d [ARC179D] Portable Gate

先考虑固定起点为 \(1\) 的情况

可以将操作转化为带着门移动，放下门单独移动，回到门的位置

显然最优情况下一定以某种 \(\text{dfs}\) 序移动

若访问子树 \(u\) 时门在 \(u\) 的祖先处，则最优情况下不会回到门两次，否则不如把门放到 \(u\) 处，因此一定是访问到子树内最深的点后回到门处

令 \(md_u\) 表示子树 \(u\) 内点到 \(u\) 的最大距离，令 \(mnr_u=2(sz_u-1)-md_u\) 表示门放置在 \(u\) 的祖先时遍历 \(u\) 的最小代价，令 \(mv_{u,0/1}\) 表示允许移动门，是否强制要求回到 \(u\) 时（连同门一起回到 \(u\)）的最小代价

显然 \(mv_{u,1}=\sum_{v\in\text{son}(u)}\min(mv_{v,1}+2,mnr_v+1)\)

考虑 \(mv_{u,0}\) 的转移，显然需要在 \(mv_{u,1}\) 的基础上，选择某一 \(\min(mv_{v,1}+2,mnr_v+1)\) 替换为 \(\min(mv_{v,0}+1,mnr_v+1)\)，因此 \(mv_{u,0}=mv_{u,1}+\min_{v\in\text{son}(u)}(\min(mv_{v,0}+1,mnr_v+1)-\min(mv_{v,1}+2,mnr_v+1))\)

单独做一遍为 \(O(n)\) 的，使用换根 \(dp\) 容易做到总复杂度 \(O(n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_arc186_d [ARC186D] Polish Mania

序列 \(a_{1\sim n}\) 合法当且仅当 \(\sum a_{1\sim n}=n-1,\;\;a_n=0,\;\; (\forall 1\le i<n,1+\sum a_{1\sim i}>i)\)，等价于从 \((0,1)\) 出发，每次从 \((i-1,s)\) 走到 \((i,s+w_i)\)，不穿越 \(y=x\) 且在 \(x=y=n\) 处结束

因此枚举 \(1\le p<n\)，计算 \(w_{1\sim i-1}=a_{1\sim i-1},w_i<a_i\) 的情况下 \(w\) 的合法数量，令 \(b=w_i\)，枚举 \(0\le b<a_i\)，将 \([x\le y][y\le n](S\binom{n-1-x}{n-y}-S\binom{n-x}{n-1-y}\mid x=i,y=1+b+\sum a_{1\sim i-1}\)（\(S\binom xy=\binom{x+y}x\)）计入答案，若在扫描过程中前缀已经不满足以上要求，则退出

显然时间复杂度 \(O(n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_arc193_c [ARC193C] Grid Coloring 3

时间倒流，转化为第一次选择一个十字删去，之后每次选择一行（列已经被之前删去），一列（同理）或一个十字删去

令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\times j\) 的网格中可以通过删行列十字而清空的数量

先考虑行，钦定 \(1\le x\le i\) 行同色，设容斥系数为 \(c_x\)，对于恰好有 \(k\) 行同色的情况，有 \(\sum_{1\le x\le k}\binom kx c_x=1\)，得到 \(c_x=(-1)^{x+1}\)

因此这部分贡献为 \(\sum_{1\le x\le i}\binom ix (-1)^{x+1} c^x f_{i-x,j}\)（其中 \(c^x\) 表示这 \(x\) 行每行颜色任意）

同理列的贡献为 \(\sum_{1\le y\le j}\binom jy(-1)^{y+1} c^y f_{i,j-y}\)

然后考虑十字，钦定 \(x\) 行 \(y\) 列同色，设系数为 \(c_{x,y}\)，则 \(\forall (i,j),\sum_{1\le x\le i}\sum_{1\le y\le j}\binom xi\binom yj c_{x,y}=1\)，得到 \(c_{x,y}=(-1)^{x+y}\)，因此贡献为 \(\sum_{1\le x\le i}\sum_{1\le y\le j}\binom ix\binom jy(-1)^{x+y}cf_{i-x,j-y}\)

同理答案为

\[\sum_{1\le x\le h}\sum_{1\le y\le w} \binom hx\binom wy(-1)^{x+y}cf_{h-x,w-y} \]

由于前面两种情况分别包含了十字的情况，因此

\[f_{i,j}=\sum_{1\le x\le i}\binom xi (-1)^{x+1} c^x f_{i-x,j}+\sum_{1\le y\le j}\binom yj(-1)^{y+1} c^y f_{i,j-y}-\sum_{1\le x\le i}\sum_{1\le y\le j}\binom ix\binom jy(-1)^{x+y}cf_{i-x,j-y} \]

容易分步转移做到 \(O(hw(h+w))\)

代码

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