做题记录 25.9.25

$\textcolor{black}\odot$ P3785 [SDOI2017] 文本校正

假设将 $t$ 划分为 $1，$2，$3 三部分，则组合 $s$ 有 $6$ 种情况：$1,$2,$3，$1,$3,$2，$2,$1,$3，$2,$3,$1，$3,$1,$2，$3,$2,$1

$1,$2,$3 的处理是显然的

$1,$3,$2 和 $2,$1,$3，$2,$3,$1 和 $3,$1,$2 分别对称，以下只考虑 $2,$1,$3 和 $2,$3,$1 的情况

231：

等价于两者循环同构且位移长度超过 $1$（实际上位移为 $1$ 时可以转化为 $3,$1,$2 的情况），可以用 sa 做到 $O(n\log n)$ 或 $O(n)$

另一种 $O(n)$ 的实现：实际上就是对每个 $i$ 判断是否有 $t[1:i]=s[n-i+1:n]$ 和 $t[i+1:n]=s[1:n-i]$，对 $ts$ 和 $st$（表示拼接）分别求出 $z$ 函数即可 $O(1)$ 判定，该方法比 $O(n)$ $sa$ 及 $O(n)-O(1)$ $rmq$ 常数小

213

等价于一个前缀循环同构，同样求出 $ts$ 和 $st$ 的 $z$ 函数 $z_{ts}[1\sim 2n]$ 和 $z_{st}[1\sim 2n]$，则需要找到一组 $(a,b)$ 使得 $t[1:a]=t[b+1:b+a],t[a+1:a+b]=t[1:b],s[a+b+1:n]=s[a+b+1:n]$，令 $p=\text{lcs}(t,s)$，等价于 $a\ge 1,b\ge 1,a+b<n,a+b\ge n-p,z_{ts}[n+b+1]\ge a,z_{st}[n+a+1]\ge b$

显然为二维数点的形式，容易树状数组做到 $O(n\log n)$

$O(n)$ 方法：

枚举 $a+b=i(n-p\le i<n)$，则 $b$ 为 $s$ 的前缀和 $t[1:i]$ 的后缀，求出 $t$ 的 $\text{fail}$ 树，用 $s$ 匹配 $t$，则合法的 $b$ 为 $\text{fail}$ 树上 $i$ 的父亲到根（不含根）的链上的全体点

对 $b$ 的限制为 $b\le z_{st}[n+a+1]$ 且 $z_{ts}[n+b+1]\ge a\iff z_{ts}[n+b+1]+b\ge a+b=i$，即在 $b\le z_{st}[n+a+1]$ 的情况下 $z_{ts}[n+b+1]+b$ 尽量大，而 $b$ 在 $\text{fail}$ 树上的直链已经保证了 $b\le z_{st}[n+a+1]$ 满足，因此取 $b$ 为直链上 $z_{ts}[n+b+1]+b$ 最大的位置最优

显然这一过程可做到 $O(n)$

321

翻转 $s$，和 $t$ 交错排列，则转化为给定一个长度 $2n$ 的串，判定能否划分为恰好三个长度为偶数的非空回文子串，以下用 $s$ 表示这一字符串，以下回文都表示长度为偶数且回文

先跑一遍 $\text{manacher}$ 对每个回文中心求出最大回文半径

定理：对于一个 $s[1:n]$ 和 $1\le a<b<c<n$，令 $la=s[1:a],ra=s[a+1:n]$，$lb=s[1:b],rb=s[b+1:n]$，$lc=s[1:c],rc=s[c+1:n]$，若 $ra,lb,rb,lc$ 回文，则 $la$ 和 $rc$ 也回文

证明：

+----+----------+
| la |   *ra*   |
+----+-+--------+
| *lb* |  *rb*  |
+----------+----+
| *lc*     | rc |
+----------+----+
     ->| v |<-

令 $v=lc\cap rb$
$v$ 为 $rb$ 的前缀，为 $rb^R$ 的前缀，为 $ra^R$ 的前缀，为 $ra$ 的前缀
因此 $la \cdot v$ 为 $la\cdot ra$ 的前缀，为 $lc$ 的前缀
由于 $lb$ 为 $lc$ 的 $\text{border}$，因此 $v$ 为 $lc$ 的周期
因此 $la$ 为 $v^{+\infty}$ 的后缀
而 $v^R$ 是 $lc$ 的前缀，因此 $la$ 为 $(v^R)^{+\infty}$ 的前缀，即 $la^R$ 为 $v^{+\infty}$ 的后缀
因此 $la=la^R$，$la$ 回文
同理得到 $rc$ 回文

由此容易得到：对于一个 $i$，若 $[1,i]$ 回文，则只需要考虑 $[1,i],[i+1,j],[j+1,n]$（其中 $j$ 为第一个满足 $j>i$ 且 $[j+1,n]$ 回文的位置）和 $[1,i],[i+1,k],[k+1,n]$（其中 $k$ 为最后一个满足 $[i+1,j]$ 回文的位置），该判定过程容易做到 $O(n)$

代码（代码中 s，t 互换）

参考 1

参考 2

$\textcolor{purple}\odot$ CF547E Mike and Friends

每个区间询问拆为两个前缀之差，考虑如何计算 $s_p$ 在 $s_{1\sim i}$ 中的出现次数

离线，将询问挂在 $i$ 上

先用 $s_{1\sim n}$ 建立 $\text{ACAM}$

从 $1$ 到 $n$ 扫描，枚举到 $s_i$ 时，用 $s_i$ 在 $\text{ACAM}$ 上跑，对于每个访问到的点 $k$，令 $\text{fail}$ 树上 $k$ 到根的链答案加一，$s_i$ 处的询问直接单点查询

链加单点查询转化为单点加区间查询，树状数组即可

时间复杂度 $O(m|\sum|+(q+m)\log m)$，其中 $m=\sum|s_i|$

代码

参考

$\textcolor{black}\odot$ P13665 「TPOI-5D」「僕は…」

一次查询 $(l,r,L,R)$ 中，将 $[l,r]$ 分块，整块部分每块建立 $\text{ACAM}$，令 $c_u$ 表示结点 $u$ 到根的链上终止位置数量，扫描 $i=1\sim n$，用 $s_i$ 在 $\text{ACAM}$ 上跑，并累加上跑到的点的 $c$ 之和，散块部分使用 $\textcolor{purple}\odot$ CF547E Mike and Friends 的方式，将树状数组改为 $O(\sqrt m)$ 加，$O(1)$ 查询的分块，即可做到总时间复杂度 $O(m|\sum|+m\sqrt m+\frac{(m+q)n}S+qS)$，假定 $n,m,q$ 同阶则时间复杂度 $O(n\sqrt n+n|\sum|)$，离线后依次处理每一块可做到空间线性