做题记录 25.9.18

\(\textcolor{black}\odot\) AT_agc046_f [AGC046F] Forbidden Tournament

定义 \(\text{exlist}(u,v)\) 表示从 \(u\) 出发到 \(v\) 结束，中间经过若干点，且先经过的点向每个后经过的点连边的结构

显然竞赛图 \(\text{SCC}\) 缩点后得到 \(\text{exlist}=[a_1,a_2,\cdots,a_l]\)，每个 \(a_i\) 为一个 \(\text{SCC}\)

对于一个竞赛图上的 \(\text{SCC}\)，若其大小 \(\ge 3\) 则一定存在三元环

证明：显然一定存在一个长度 \(\ge 3\) 的环，若环长 \(>3\) 则取其任意一条弦，必然能得到更小的环，最终得到一个三元环

题目中禁止的结构为一个三元环指向一个点，若存在一个 \(|a_i|\ne 1(i<l)\) 则必然有 \(|a_i|\ge 3\)（两个点必然不是 \(\text{SCC}\)），即存在三元环，则该三元环一定指向 \(a_l\)，不合法，因此必有 \(a_{1\sim l-1}\) 为孤点

令 \(cal(n,k)\) 表示额外增加全图强连通的限制后 \((n,k)\) 的答案，则原问题的答案为 \([k=n-1]n!+\sum_{i=0}^{n-3} \binom ni i! cal(n-i,k-i)\)（其中枚举 \(l-1=i\)）

问题转化为如何求 \(cal(n,k)\)，即只考虑 \(a_k\) 的部分

\(n<3\) 或 \(k\le 0\) 时显然无解

设点集为 \(P\)，令 \(u\to v\) 表示两者直接相连，取任意 \(u\in P\)，令 \(P=\{v\mid v\to u\}\)，\(S=\{v\mid u\to v\}\)，即 \(u\) 的前驱后继

显然 \(P\ne\mathbb \emptyset\) 且 \(S\ne\mathbb\emptyset\)，否则 \(V\) 不构成 \(\text{SCC}\)

用 \(((p,q,r))\) 表示三者构成三元环（\(p\to q\to r\to p\)），\(((p,q,r))\to s\) 表示一个题目中的结构

引理 \(1\)：对于 \(r\in P,p\in S,q\in S,p\to q\)，若 \(p\to r\) 则 \(q\to r\)

证明：

由于 \(r\in P,p\in S,q\in S\)，因此 \(r\to u,u\to p,u\to q\)
又 \(p\to q,p\to r\)，若 \(q\not\to r\)，则 \(q\gets r\)，有 \(((u,p,r))\to q\)，不合法
因此必然有 \(q\to r\)

引理 \(2\)：\(P\) 为 \(\text{exlist}\)

证明：

\(|P|<3\) 时显然
\(|P|\ge 3\) 时，若存在三元环 \(((p,q,r))\)，则 \(((p,q,r))\to u\)，不合法，因此 \(P\) 不存在三元环，为 \(\text{exlist}\)

引理 \(3\)：\(S\) 为 \(\text{exlist}\)

证明：

若不是，则存在三元环 \(((p,q,r))\in S\)
若存在 \(d\in P,p\to d\)，根据引理 \(1\) 有 \(q\to d,r\to d\)，即 \(((p,q,r))\to d\)，不合法，因此 \(p,q,r\) 没有向 \(P\) 的出边
若 \(|S|>3\)，对于任意 \(t\in S,t\notin((p,q,r))\)，必然不满足 \(((p,q,r))\to t\)，因此有 \(t\to p/q/r\)，不妨设 \(t\to p\)，若 \(\exists s\in P,t\to s\)，则 \(p\to s\)，而 \(p\) 没有向 \(P\) 的出边，矛盾，因此 \(\forall s\in P,t\not \to s\)
从而 \(\forall x\in S,\nexists u\in P,x\to u\)，显然 \(\forall x\in S,x\not\to u\)，因此 \(S\) 为一个独立的 \(\text{SCC}\)，不满足要求
因此不存在这样的三元环，\(S\) 为 \(\text{exlist}\)

因此可以把 \(P\) 写为 \(x_{1\sim s}\)，\(S\) 写为 \(y_{1\sim t}\)，\(x_1\to x_2\to x_3\to\cdots\to x_s\to u\to y_1\to y_2\to y_3\to\cdots \to y_t\)，且 \(\forall x_i,x_i\to x_j(i<j)\)，\(\forall x_i,x_i\to u\)，\(\forall y_i,y_i\to y_j(i<j)\)，\(\forall y_i,u\to y_i\)

而 \(V=\{x_i\}\cup \{u\}\cup \{y_i\}\) 为一个 \(\text{SCC}\)，因此在 \(x\) 和 \(y\) 之间的边中必然存在 \(y\to x\)

引理 \(4\)：任意 \(x_i\) 恰好连向 \(y\) 的一个前缀

证明：

对于一个 \(x_i\)，若连向的不是 \(y\) 的前缀，则存在 \(j\) 使得 \(x_i\gets y_j,x_i\to y_{j+1}\)
显然 \(x_i\to u,u\to y_j,u\to y_{j+1},y_j\to y_{j+1}\)
因此 \(((x_i,u,y_j))\to y_{j+1}\)，不合法

设 \(x_i\to y_{1\sim a_i}\)

引理 \(5\)：\(a\) 单调不降，且 \(a_1<t\)

证明：

若 \(a_1=t\)，则 \(x_1\to x_{2\sim s},x_1\to u,x_1\to y_{1\sim t}\)，即 \(V/\{x_1\}\) 单独构成 \(\text{SCC}\)，不符合要求，因此 \(a_1<t\)
若 \(a\) 存在下降位置，设 \(a_i>a_{i+1}\) 为第一个下降位置
若 \(a_i<t\)，说明 \(x_i\to y_{a_i},x_i\not\to y_{a_i+1}\)，\(x_{i+1}\not\to y_{a_i},x_{i+1}\not\to y_{a_i+1}\)
即 \(x_i\to y_{a_i},x_i\gets y_{a_i+1}\)，\(x_{i+1}\gets y_{a_i},x_{i+1}\gets y_{a_i+1}\)
而 \(x_i\to x_{i+1},y_{a_i}\to y_{a_i+1}\)
因此 \(((x_i,y_{a_i},y_{a_i+1}))\to x_{i+1}\)，不合法
若 \(a_i=t\)，由于 \(a_1<t\)，则 \(1<i\)，从而 \(x_1\gets y_t,x_i\to y_t,x_{i+1}\gets y_t\)，又 \(x_1\to x_i\to x_{i+1},x_1\to x_{i+1}\)，因此 \(((x_1,x_i,y_t))\to x_{i+1}\) 不合法
综上，必有 \(a_i\le a_{i+1}\)，\(a\) 单调不降

然后考虑 \(k\) 的限制

对于 \(u\)，其入度为 \(s\)，因此 \(s\le k\)

对于 \(x_i\)，其入度为 \(i-1+t-a_i\)，因此若 \(i-1+t-a_i>k\) 则这组 \(a_{1\sim s}\) 不合法

对于 \(y_j\)，显然 \(j<t\) 且 \(j\ne a_i\) 时入度不大于 \(j=t\) 或 \(j=a_i\) 时，因此只需要考虑这些位置

若 \(j=a_i\)（有多个 \(i\) 则取最小的），则 \(x_{i\sim s}\to y_j\)，\(u\to y_j\)，\(y_{1\sim j-1}\to y_j\)，因此入度为 \(s-i+1+j\)，若 \(s-i+1+a_i>k\) 则这组 \(a\) 不合法

若 \(j=t\)，则其入度为 \(\sum_i[a_i=t]+t\)，必然要有 \(t\le k\)，若存在 \(a_i=t\) 则取到那个 \(a_i\) 时已经计入限制了

总上，对 \(a\) 的限制为：

\(a_{1\sim s}\in[0,t]\)，\(\max(s,t)\le k\)
\(\forall 1\le i<s,a_i\le a_{i+1}\)
\(\forall 1\le i\le s,i-1+t-a_i\le k\land s-i+1+a_i\le k\)

对于 \(cal(n,k)\)，钦定 \(u=1\)，枚举 \(1\le s<n-1\)，剩下 \(n-1\) 个点分为 \(s\) 和 \(t=n-1-s\) 大小的两组，点的排列方案数为 \(\binom{n-1}s s!t!\)，显然边的排列方案数和满足要求的 \(a\) 一一对应，因此对 \(a\) 计数即可，容易 \(dp\) 做到 \(O(k^2)\)（令 \(f_{i,j}\) 表示 \(a_{1\sim i}\) 满足要求且 \(a_i=j\) 的方案数，转移是容易的）