做题记录 25.9.15

\(\textcolor{blue}\odot\) P3225 [HNOI2012] 矿场搭建

求出割点，枚举删去割点后的连通块，求出该连通块相邻的割点数量，设为 \(c\)，设连通块内点数为 \(s\)

若 \(c=0\)，表示原图中该连通块为整个点双，若 \(s=1\)（数据中没有这种情况）则答案增加 \(1\) 且方案数不变，否则令答案增加 \(2\)，方案数乘以 \(\binom s2\)

若 \(c=1\)，则答案增加 \(1\) 且方案数乘以 \(s\)

若 \(c\ge 2\) 则忽略

时间复杂度 \(O(\sum (n+m))\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P10953 逃不掉的路

边双缩点，则一次询问的答案为边双树上的距离，树剖即可

时间复杂度 \(O(n+m+q\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) P2272 [ZJOI2007] 最大半连通子图

一张图为半连通的当且仅当 \(\text{SCC}\) 缩点后为一条链

因此求出 \(\text{SCC}\) 后在 \(\text{DAG}\) 上 \(\text{dp}\) 即可，时间复杂度 \(O(n+m)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P4126 [AHOI2009] 最小割

先跑一次最大流，用残量网络建立有向图

一条边 \(u\to v\) 为可行边当且仅当 \(u\to v\) 满流且残量网络上不存在 \(u\to v\) 的边，即残量网络上 \(u\) 和 \(v\) 不属于同一 \(\text{SCC}\)

证明：若 \(u\to v\) 不满流，显然割开 \(u\to v\) 不优，若 \(u\to v\) 满流，则残量网络上必然存在 \(v\to u\)，若残量网络上存在 \(u\to v\) 的路径，显然割开 \(u\to v\) 不优，此时残量网络上存在包含 \(u,v\) 的环，即 \(u,v\) 在同一 \(\text{SCC}\) 中

一条可行边为必经边当且仅当在必经边的基础上，\(s\) 可以到 \(u\) 且 \(v\) 可以到 \(t\)，即 \(s\) 和 \(u\) 属于同一 \(\text{SCC}\) 且 \(v\) 和 \(t\) 属于同一 \(\text{SCC}\)

总时间复杂度 \(O(m\sqrt n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P9697 [GDCPC 2023] Canvas

逆序考虑，转化为一个位置第一次被填上以后就无法修改

显然 \((u,2,v,2)\) 型的放到最前面，\((u,1,v,1)\) 型的放到最后面，不妨设剩下的都是 \((u,1,v,2)\) 型，这样一组记为 \((u,v)\)，显然 \((u,v)\) 放到 \((v,w)\) 前更优

建立图，对于一组 \((u,v)\) 连边 \(u\to v\)，转化为每次染一个点，或选择一个已经染色的点和它的一条出边，将到达的点染色，最小化前一种操作数量

显然染一个点的操作只会发生在入度为 \(0\) 的 \(\text{SCC}\) 中，且每个这样的 \(\text{SCC}\) 中至多选择一个即可

特别地，若一个入度为 \(0\) 的 \(\text{SCC}\) 中存在 \((u,2,v,2)\) 型（\(u,v\) 之一在当前 \(\text{SCC}\) 中），则无需单独染色

显然这样最优

时间复杂度 \(O(\sum (n+m))\)

代码

参考