做题记录 25.9.8

\(\textcolor{purple}\odot\) P4229 某位歌姬的故事

先将位置离散化，原本的 \([1,n]\) 划分为 \(O(q)\) 个子区间，每个限制都包含若干完整子区间

将限制按其值排序，从小到大枚举值 \(v\)，枚举当前值的限制，取出这些限制覆盖到的所有子区间依次排列，则转化为：\(k\) 个元素可取 \(0/1\)，取 \(0\) 和取 \(1\) 时各自有权值，给定若干区间，要求每个区间内至少有一个 \(1\)，求所有方案的权值和，其中一种方案的权值为所有位置的权值积，所有的 \(v\) 对应的权值和之积即为最终答案（注意特殊处理没有限制的位置）

其中取 \(1\) 表示对应子区间中存在 \(a\)，取 \(0\) 表示对应子区间内值都 \(<a\)

长度为 \(l\) 的子区间取 \(0\) 权值为 \((v-1)^l\)，取 \(1\) 权值为 \(v^l-(v-1)^l\)

设限制的集合为 \(S\)，令 \(f_i\) 表示 \(i\) 位置取 \(1\)，\(1\sim i\) 的方案数，则转移为

\[f_i=\sum_{j=\max_{[l,r)\in S,r\le i}l}^{i-1}f_j v_{i,1}\prod_{k=j}^{i-1}v_{k,0} \]

其中 \(v_{i,0/1}\) 表示 \(i\) 取 \(0/1\) 的权值

答案统计类似

总时间复杂度 \(O(\sum q^2)\)，容易优化到 \(O(\sum q\log q)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P6622 [省选联考 2020 A/B 卷] 信号传递

令 \(cnt_{i,j}\) 表示 \(a_x=i,a_{x+1}=j\) 的数量，设数字 \(i\) 重排后为 \(p_i\)，则总时间为

\[\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m cnt_{i,j}\left(\begin{cases}p_j-p_i&p_i\le p_j\\ k(p_i+p_j)&p_i>p_j\end{cases}\right) \]

化为

\[\begin{aligned} &\sum_{1\le i\le m,1\le j\le m,p_i<p_j}cnt_{i,j}(p_j-p_i)+\sum_{1\le i\le m,1\le j\le m,p_i>p_j}cnt_{i,j}k(p_i+p_j)\\ =&\sum_{i=1}^m p_i \left(\sum_{p_j<p_i}(k \times cnt_{i,j}+cnt_{j,i})+\sum_{p_j>p_i}(-cnt_{i,j}+k\times cnt_{j,i}) \right)\\ \end{aligned} \]

令 \(f_s\) 表示将集合 \(s\) 中的数填到 \(1\sim |s|\) 位置的最小总时间，则转移为

\[f_{s\cup \{i\}}\gets f_s+|s\cup \{i\}|\left(\sum_{j\in s}(k \times cnt_{i,j}+cnt_{j,i})+\sum_{j\notin (s\cup\{i\})}(-cnt_{i,j}+k\times cnt_{j,i}) \right) \]

令 $g_{s,i}=\sum_{j\in s}(k \times cnt_{i,j}+cnt_{j,i})+\sum_{j\notin (s\cup{i})}(-cnt_{i,j}+k\times cnt_{j,i}) \(，\)g$ 和 \(f\) 转移都容易做到 \(O(m2^m)\)

注意到对于一个 \(i\)，只会用到 \(i\notin s\) 的 \(g_{s,i}\)，因此 \(g\) 的空间可以做到 \(m2^{m-1}\) 个 int，约 \(400M\)，可以接受

总时间复杂度 \(O(m2^m+n)\)

代码

参考

QOJ #7905. Ticket to Ride

令 \(w_{i,j}\) 表示完全包含于 \([i,j]\) 的有贡献区间的贡献和，\(f_{i,j}/g_{i,j}\) 表示 \([0,j]\) 中删去 \(i\) 条，最后一条删去/不删去的答案，则转移为

\[f_{i,j}=\max_{k<j}(g_{i,k}+w_{k,j})\\ g_{i,j}=\max(g_{i-1,j-1},f_{i-1,j-1})\\ \]

枚举 \(i\)，扫描 \(j\) 的过程中，令 \(t_k=g_{i,k}+w_{k,j}\)，则一个区间 \([l,r,v]\) 会在 \(j\) 扫到 \(r\) 的时候令 \(t_{0\sim l}\) 加上 \(v\)，用 \(\max t\) 更新 \(f\)，然后算出 \(g\) 加入 \(t\) 末尾

转化为实现一个支持末尾插入、前缀加非负数、查询全局最大的结构

用并查集维护前缀 \(\max\) 的极大等值段即可做到均摊 \(O(\alpha(n))\)

总时间复杂度 \(O(\sum n(n+m)\alpha(n))\)，用线性序列并查集可以做到 \(O(\sum n(n+m))\)

代码

参考