做题记录 25.9.5

\(\textcolor{black}\odot\) CF2041N Railway Construction

先将 \(n\) 个点按 \(a\) 从小到达重标号为 \(1\sim n\)，这一步时间复杂度 \(O(n\log n+m)\)，记 \(u\) 删除的出边到达的点的集合为 \(S_u\)，假定 \(S_u\) 已经从小到大排序

先考虑不删点情况下的求解

考虑类似 \(\text{Boruvka}\) 算法的过程，令每个点 \(u\) 找到不在 \(S_u\) 中的最小正整数 \(nb_u\)，并合并两者，显然一个计算一个 \(nb_u\) 的时间复杂度为 \(O(|S_u|)\) 的，这部分总时间复杂度 \(O(m)\)

此时只有 \(O(\sqrt {n+m})\) 个连通块

证明：

• 显然 \(\sum nb_u\le n+m\)，因此至多有 \(O(\sqrt{n+m})\) 个 \(nb_u\) 大于 \(\sqrt{n+m}\)
• 剩余 \(m-O(\sqrt{n+m})\) 个点的 \(nb\) 都小于 \(\sqrt{n+m}\)，一步合并后至多得到 \(1\sim \sqrt{n+m}\) 所代表的 \(O(\sqrt{n+m})\) 个连通块
• 剩余 \(O(\sqrt{n+m})\) 个点每个点至多形成一个连通块，因此总数量为 \(O(\sqrt{n+m})\) 的

从而最终 \(\text{MST}\) 中非叶子结点数量为 \(O(\sqrt{n+m})\) 的

证明：

• \(m-O(\sqrt{n+m})\) 个点的 \(nb\) 小于 \(\sqrt{n+m}\)，将 \(u>\sqrt{n+m}\) 且 \(nb_u<\sqrt{n+m}\) 的 \((u,nb_u)\) 合并，得到 \(\sqrt{n+m}\) 个菊花，此时非叶子结点数量为 \(\sqrt{n+m}\)
• 剩余 \(O(\sqrt{n+m})+O(\sqrt{n+m})=O(\sqrt{n+m})\) 个点依次合并到该图上，每次合并至多增加一个非叶子结点，因此总非叶子结点数量为 \(O(\sqrt{n+m})\)

假设已经求出初始 \(\text{MST}\)，然后依次考虑删去每个点

当删去的点为叶子时，显然直接从初始 \(\text{MST}\) 中删去对应点和边即为删点后图的 \(\text{MST}\)，这部分计算为 \(O(1)\) 的

若删去的点为非叶子，则按求 \(\text{MST}\) 的方式求出答案

因此原问题转化为 \(O(\sqrt{n+m})\) 次 将原图划分为 \(O(\sqrt{n+m})\) 个连通块，求出这些连通块的 \(\text{MST}\)，根据题目的范围，显然单次需要做到线性，以下只考虑其中一次

假如已经求出连通块两两之间的距离，则可用暴力 \(\text{Prim}\) 算法求出 \(\text{MST}\)，且时间复杂度为 \(O(\sqrt{n+m}^2)=O(n+m)\)，因此考虑如何求出两两之间的距离

用 \(B_i\) 表示一个连通块，令 \(id_u\) 为点 \(u\) 所在连通块的编号，假定 \(B_i\) 中数字从小到大排序，这一点容易在之前的处理中顺便保证

枚举一个连通块 \(B_i\)

对于每个 \(B_j\mid i\ne j\) 开一个边的桶，枚举 \(u\in B_i\)，枚举 \(v\in S_u\)，将 \((u,v)\) 加入 \(B_{id_v}\) 的桶中，这一步总体时空复杂度为 \(O(\sum_i \sum_{u\in B_i}|S_i|)=O(\sum_u|S_i|)=O(n+m)\) 的

然后枚举连通块 \(B_j\mid i\ne j\)，考虑求解 \(dis(i,j)\)

枚举 \(B_j\) 的桶中的 \((u,v)\)，每个点开一个桶，将 \(v\) 加入 \(u\) 对应的桶中（记得这一轮完毕后需要枚举 \((u,v)\) 依次清空桶以保证复杂度）

显然这部分总体时间复杂度仍然为 \(O(n+m)\)，且由于初始的 \(S\) 已经排序，在以上操作过程中，每个点的桶内数字是递增的

然后依次枚举 \(u\in B_i\)，找到最小的不在 \(u\) 对应桶中但在 \(B_j\) 中的点 \(v\)，用 \((u,v)\) 更新 \(dis(i,j)\)，若 \(u\) 对应桶已经空了，则跳出（显然当前 \(u\) 已经取到 \(v=\min B_j\)，之后的 \(u\) 一定不优）

显然按此方式时间复杂度为 \(O(n+m)\)，且正确性显然

这样一次求解的时间复杂度为 \(O(n+m)\)，总时间复杂度 \(O((n+m)\sqrt{n+m})\)

代码

参考