2025.9.4 NOIP 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P110128 委托 (entrust)

题意

\(n+1\) 个点的菊花图，\(0\) 为根，给定 \(t_i=\text{dis}(0,i)\)，有 \(m\) 组 \((a,x)\) 表示可以 \(x\) 时刻从 \(0\) 出发，\(x+t_a\) 时刻到达 \(a\)（含 \(x\) 时刻与 \(x+t_a\) 时刻），\(l\) 组 \((b,y)\) 表示可以 \(y\) 时刻从 \(b\) 出发，\(y+t_b\) 时刻回到 \(0\)（含 \(y\) 时刻与 \(y+t_b\) 时刻），其他时刻不可移动，同一时刻至多进行其中一种，求最大可进行的操作数量，\(n\le 10^5\)

分析

将时刻离散化到 \(1\sim O(m+l)\)，令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 时刻位于 \(j\) 时的答案，转移是容易的，显然可以优化到除离散化外线性

时间复杂度 \(O((m+l)\log (m+l)+n)\)

代码

另一种方式为每个 \(0\to u\) 的找到下一个 \(u\to 0\) 的，两者视为一个区间，转化为给定若干带权区间，选出权值总和最大的子集，使得两两不交，特殊处理最后一个，时间复杂度相同

T2 P110129 骑车环行 (cycle)

题意

一张 \(n\) 点的图，每点有高度 \(h_i\)，有若干条无向边 \((u,v)\)，其边权为 \(|h_u-h_v|\)，定义一个简单环（可重复经过点，不可重复经过边）的权值为环上边权的最大值，对于每个 \(1\le i\le n\) 求出包含它的简单环的最小权值或判定不存在，\(n\le10^5,m\le2\times10^5\)，保证图连通

分析

以下做法没有使用 \(w(u,v)=|h_u-h_v|\) 的性质

将边按边权从小到大排序，依次处理，若边 \((u,v,w)\) 中 \(u,v\) 不在同一连通块中，则合并两个连通块，否则枚举 \(u-v\) 链上所有点（显然维护的连通块是树），将这些点的答案设为 \(w\)，然后将这些点缩起来

正确性显然，若直接用 \(\text{LCT}\) 实现则复杂度为 \(O((n+m)\log n)\)

考虑先求出 \(\text{MST}\)，然后按边权从小到大枚举每条非树边 \((u,v,w)\)，枚举树上路径 \(u-v\) 上的点，若 \(p\) 没有被访问则将该点答案设为 \(w\)，否则跳过

树剖后直接树上取 \(\min\) 可以做到 \(O((n+m)\log^2 n)\)

用并查集跳过被访问的位置，则时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)

代码

T3 P110130 数列涂色 (color) \(\quad\) GYM105487 D. Excellent Splitting

题意

给定一个排列 \(a_{1\sim n}\)，将它分为两个子序列 \(A,B\)，求出 \(\text{LIS}(A)+\text{LDS}(B)\) 的最大值，\(n\le10^5\)，多测 \(T\le 5\)

分析

由于 \(a\) 为排列，显然 \(\text{LIS}(A)+\text{LDS}(B)\) 为 \(\text{LIS}(a)+\text{LDS}(a)\) 或 \(\text{LIS}(a)+\text{LDS}(a)-1\)（\(a\) 的 \(\text{LIS},\text{LDS}\) 至多一个交点，去掉交点后一定合法）

考虑计算出 \(\text{LIS}(a)\) 和 \(\text{LDS}(a)\) 的数量，然后求出其中有交的方案数，若不同则说明答案为 \(\text{LIS}(a)+\text{LDS}(a)\)，否则减一

对于有交的情况，枚举交点 \(a_i\)，则转化为求出终于 \(a_i\) 的 \(a_{1\sim i}\) 的 \(\text{LIS},\text{LDS}\) 与始于 \(a_i\) 的 \(a_{i\sim n}\) 的 \(\text{LIS},\text{LDS}\)，若加起来得到总长度等于 \(\text{LIS}(a)+\text{LDS}(a)\) 则计入方案数

转化为i给定一个序列，对于每个元素求出以它结尾的 \(\text{LIS}\) 长度与数量，及全局的答案（\(\text{LDS}\) 和后缀的情况显然可以转化为这种情况），容易值域树状数组实现

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

T4 P110131 双端队列 (deque)

题意

有一个 \(n\) 点的森林，初始所有点之间都没有连边，\(m\) 次操作：

1. push_back(x,y)：将 \(x\) 加入到 \(y\) 的儿子序列的末尾，保证 \(x,y\) 都是根
2. push_front(x,y)：将 \(x\) 加入到 \(y\) 的儿子序列的开头，保证 \(x,y\) 都是根
3. pop_back(x)：将 \(x\) 的儿子序列的末尾元素弹出作为一个独立的根，保证 \(x\) 为根且至少有一个儿子
4. pop_front(x)：将 \(x\) 的儿子序列的开头元素弹出作为一个独立的根，保证 \(x\) 为根且至少有一个儿子
5. pop_complexity(x)：查询至少需要多少次 \(3\) 操作和 \(4\) 操作才能使 \(x\) 成为根

\(n,m\le2\times10^5\)

分析

考虑维护每种操作对答案序列的影响，查询时直接在序列上单点求值

push 和 pop 互为逆操作，front 和 back 对称，因此先考虑 push_back 操作对答案序列的影响

假设要将树 \(v\) 插入 \(u\) 的儿子的末尾，\(u\) 有 \(k\) 个儿子 \(s_{1\sim k}\)，假如每个连通块中按 \(\text{dfs}\) 序保存除根外所有点的答案，显然这样一次操作先将 \(v\) 插入 \(v\) 的序列之首，然后将 \(v\) 的序列插入 \(u\) 的序列的末端，然后 \(u\) 的序列中第 \(\lceil\frac{k+1}2\rceil\) 至第 \(k+1\) 个儿子所在子树的答案整体加一

用一组 \(n\) 棵平衡树维护每个点的儿子序列，支持查询前 \(k\) 个儿子的子树大小之和，然后用另一组 \(n\) 棵平衡树维护每个连通块的答案序列，五个操作容易做到 \(O(\log n)\)

总时间复杂度 \(O(n+m\log n)\)

代码

比赛结果

\(100+100+35+40\)，\(\text{rk}40\)