做题记录 25.9.4

\(\textcolor{black}\odot\) AT_arc181_e [ARC181E] Min and Max at the edge

分别考虑 \(\forall p\in\text{path}(u,v),p\ge u\) 和 \(\forall p\in\text{path}(u,v),p\le v\) 的限制，考虑通过一定方式给边赋权，使得满足要求的生成树必然为最小生成树

设边 \((u,v)\) 赋为 \(w(u,v)\)，假定边权互不相同以保证 \(\text{MST}\) 唯一，且满足 \(w(u,v)=w(v,u)\)

在最小生成树中，对于一条非树边 \((u,v)\)，任意 \(u-v\) 在树上对应的路径上的边 \((u',v')\)，必有 \(w(u',v')<w(u,v)\)

原生成树的要求为 \(u\le u',v'\le v\)，因此限制 \(w\) 满足区间单调性，即 \(\forall [u',v']\subset[u,v],w(u',v')<w(u,v)\)

显然在此情况下合法的生成树必然为 \(\text{MST}\)

由此得到一个 \(O(m(n+m)\log n)\) 的算法：枚举每条边删去，求出剩余部分的 \(\text{MST}\)，若得到的生成树满足题目要求则边合法

发现求出 \(\text{MST}\) 后检测的方式很难优化

由于边权互不相同的情况下 \(\text{MST}\) 唯一，从而要么唯一存在合法的生成树，要么不存在

考虑在满足区间单调性的情况下，尽量选择 \(v\) 最大的（赋为 \((n+1)v-u\)），尽量选择 \(u\) 最小的（赋为 \((n+1)(n-u+1)-(n-v+1)\)），得到两颗生成树，若两者相同，则说明得到唯一且合法解

转化为给定一张图，对于每条边，求出删去它后对 \(\text{MST}\) 的影响（显然影响为 \(O(1)\) 的，因此可以加入初始 \(\text{MST}\)，枚举每条边作用修改，判断是否相同，然后撤销）

总时间复杂度 \(O(m\log m)\)，需要特判初始不连通的情况

代码

参考