做题记录 25.9.3

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_arc165_f [ARC165F] Make Adjacent

令 \(l_x,r_x\) 为值 \(x\) 的两次出现位置，对于 \(x,y\) 若 \(l_x<l_y,r_x<r_y\)，则 \(x\) 必然在 \(y\) 之前

将 \((l_x,r_x)\) 放到欧氏平面上，按顺序取出数字，则一个数字能被取出当且仅当其左下角没有点，一个点向右上角的点连有向边，则转化为求字典序最小拓扑序

线段树优化建图即可，注意求字典序最小时认为额外点的字典序为 \(0\)

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考

发现字典序为 \(0\) 的点有 \(O(n\log n)\) 个，非 \(0\) 的有 \(n\) 个，因此前者用队列维护，后者用堆维护可以做到时间复杂度 \(O(n\log n)\)

存在空间复杂度 \(O(n)\) 时间复杂度 \(O(n\log n)\) 的解法

\(\textcolor{blue}\odot\) AT_abc345_f [ABC345F] Many Lamps

一个大小为 \(l\) 的连通块中至多选择 \(2\lfloor\frac l2\rfloor\) 个，若 \(k\) 超过 \(2\lfloor\frac l2\rfloor\) 的总和或 \(k\) 为奇数则显然无解，否则一个连通块中选择偶数个，搜索树上从下往上确定即可

时间复杂度 \(O(n+m)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_arc199_c [ARC199C] Circular Tree Embedding

显然一棵树合法当且仅当对于每个子树，对于每个排列，都恰好存在一个区间（环意义下的区间）使得区间内数的集合等于该子树内结点编号集合

显然任意一个排列整体加上一个数（\(\bmod n\) 意义下，且 \(0\to n\)）相当于环旋转，不影响解的合法性，因此先令所有排列的 \(1\) 出现在第一个位置

显然所有排列同步置换不影响合法解数量，因此将第一个排列调整为 \([1,2,3,\cdots,n]\)（其他排列同步变换）

此时可断环为链，即不需要考虑区间覆盖一个前缀和一个后缀的情况，且子树恰好对应一个区间（\([l,r]\) 中结点编号集合恰好为 \([l,r]\cap \mathbb N\)）

令 \(o_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 能否作为一个子树（是否对于任意排列，都有区间 \([l,r]\) 的极差等于 \(r-l\)），容易 \(O(mn^2)\) 预处理

令 \(f_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 作为一个子树的方案数，令 \(g_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 划分为若干子树的方案数，则 \(f_{l,r}=[o_{l,r}]\sum_{k=l}^r g_{l,k-1}g_{k+1,r}\)，\(g_{l,l-1}=1,g_{l,r}=\sum_{k=l}^r f_{l,k}g_{k+1,r}\)

总时间复杂度 \(O(mn^2+n^3)\)

代码

参考