2025.8.31 炼石计划 week1 动规 讲课笔记

记录：6 \(\quad\) 1,2,12 \(\quad\) 4 \(\quad\) 5,7 \(\quad\) 8,10 \(\quad\) 9 \(\quad\) 11

题单：

- [x] https://loj.ac/p/4261
- [x] https://loj.ac/p/4257
- [x] https://qoj.ac/contest/1774/problem/9222
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P10145
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P5979
- [x] https://qoj.ac/contest/1784/problem/9254
- [x] https://uoj.ac/problem/37
- [x] https://qoj.ac/contest/1399/problem/7645
- [x] https://qoj.ac/contest/1399/problem/7644
- [x] https://qoj.ac/contest/1398/problem/7606
- [x] https://qoj.ac/contest/1207/problem/6331
- [x] https://www.luogu.com.cn/problem/P3554

T3 QOJ #9222. Price Combo

显然将二元组序列分为两部分，分别排序后取 \(a\) 第奇数大和 \(b\) 第奇数大求和即为答案

考虑一组 \(i,j\) 满足 \(a_i\ge a_j,b_i\le b_j\)，显然不可能存在 \(i\in A\) 且 \(j\in B\) 的情况，否则换成 \(j\in A,i\in B\) 更优

以 \(a\) 为横坐标，\(b\) 为纵坐标，则对于一种最优解，一定可以选择一条 \((0,0)\) 到 \((+\infty,+\infty)\) 的不降折线，折线左上方都在 \(a\) 中，右下方都在 \(b\) 中

更精确地，每个 \((a,b)\) 对应正方形 \((a\sim a+1,b\sim b+1)\)，然后选择格线上的折线，将方块集分割

令 \(f_{i,j,x,y}\) 表示 \((i\sim +\infty,j\sim +\infty)\) 范围内，\((i,j)\) 到 \((+\infty,+\infty)\) 的折线，左上中数量的奇偶性为 \(x\)，右下中数量奇偶性为 \(y\)（实际只需要记录前者，因为 \(i,j\) 确定后两者之和确定），该情况下的答案

考虑对 \(a,b\) 离散化，重复的离散化到不同值，即离散化后两者都是排列

令 \(x_i\)，\(y_i\) 表示离散化后点集为 \((x_i,i)\) 和 \((i,y_i)\), \(wa_i\) 为 \((i,y_i)\) 的原横坐标，\(wb_i\) 为原 \((x_i,i)\) 的纵坐标，则转移为

\[\begin{aligned} &f_{i-1,j,p,q}\gets f_{i,j,p,q} & \text{if}~y_i\le j\\ &f_{i-1,j,p\oplus 1,q}\gets f_{i,j,p,q}+[p\oplus 1]wa_i & \text{if}~y_i> j\\ &f_{i,j-1,p,q}\gets f_{i,j,p,q} & \text{if}~x_j\le i\\ &f_{i,j-1,p,q\oplus 1}\gets f_{i,j,p,q}+[q\oplus 1]wb_j & \text{if}~x_j> i\\ \end{aligned} \]

容易做到 \(O(n^2)\)

去掉第一维，转化为 \(i\) 从 \(n\) 到 \(0\)，枚举 \(j=n\sim 1\)，\(p\in\{0,1\}\)，若 \(x_j\le i\) 则 \(f_{j-1,p,0}\gets f_{j,p,0}, f_{j-1,p,1}\gets f_{j,p,1}\)，否则 \(f_{j-1,p,1}\gets f_{j,p,0}+wb_j,f_{j-1,p,0}\gets f_{j,p,1}\)，若 \(i>0\) 则枚举 \(0\le j<y_i\)，\(q\in\{0,1\}\)，\(f_{j,0,q}\) 加上 \(wa_i\)，并交换 \(f_{j,0,q}\) 和 \(f_{j,1,q}\)

第一步转移又可以进一步简化为按方程式求出 \(f_{y_i,\ast,\ast}\)，只更新该位置

所有操作可以线段树实现，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，常数极大

代码

参考