做题记录 25.8.29

QOJ #7645. Shoes

将所有位置排序，设 \(0\) 左侧的位置为 \(l_{1\sim lp}\)，\(0\) 右侧的位置为 \(r_{1\sim rp}\)，两者按绝对值从小到大排序

定义某一天为合法的当且仅当这一天中同时访问了 \(l\) 中的位置和 \(r\) 中的位置

可证最优解中合法的每一天访问的区间互相嵌套，不合法的每一天每次访问连续的一段

因此任意一天结束时，都恰好访问了 \(l\) 和 \(r\) 的一个前缀

设目前访问了 \([l_x,r_y]\)，则可以转移到 \([l_u,r_v]\;(u\ge x,v\ge y)\)

倒序，从 \((lp,rp)\) 转移至 \((0,0)\)，每天可以缩小一次区间，满足对应距离不超过限制

令 \(dp_{x,y}\) 保存若干二元组，表示 \([l_x,r_y]\) 的答案，其中每个二元组 \((u,v)\) 表示缩小的第 \(u\) 天还剩下 \(v\) 个可以访问（倒序转移可以直接得到今天的总移动距离，时间上限减去总移动距离除以 \(k\) 下取整即为剩余可以访问的数量），显然每个 \(u\) 记录最大的 \(v\) 即可，可证只需要保留最小的 \(u\)

转移是容易的

时空复杂度 \(O(n^2)\)

代码

参考：1 \(\quad\) 2

QOJ #7606. Digital Nim

令 \(s(i)\) 表示 \(i\) 的数位和

令 \(f_n\) 表示 \(n\) 对应的 \(\text{SG}\) 函数值，显然

\[f_0=0,f_n=\text{mex}_{j=i-s(i)}^{i-1} \{f_j\} \]

令 \(ls_n\) 表示 \([0,n]\) 中最后一个满足 \(f_i=0\) 的 \(i\)，显然

\[ls_0=0,ls_i=\begin{cases}ls_{i-1}&ls_{i-1}\ge i-s(i)\\i&\text{otherwise}\end{cases} \]

令 \(pl_i=i-ls_i\)，则

\[pl_0=0,pl_i=\begin{cases}pl_{i-1}+1&pl_{i-1}+1\le s(i)\\0&\text{otherwise} \end{cases} \]

显然 \(pl_n>0\) 时先手必胜

令 \(f_{i,s,l}\) 表示对于一个 \(10^i\mid v,s(v)=s,pl_v=l\) 的 \(v\)，\(pl_{v+10^i-1}\) 的值

转移和求解都是简单的

时间复杂度 \(O(\log_b^3 V \cdot b^3+\sum \log_b V\cdot b)\)，其中 \(b=10\)

代码