2025.8.27 NOIP 模拟赛 题解

比赛

订正

T1 P110120 宇宙（universe）

题意

给定 \(v_{1\sim n}\; (v_i>0)\)，对于每个 \(1\le k<n\)，依次考虑每个 \(i>0\)，第 \(i-\varepsilon\) 秒时选择 \(k\) 个 \(v_x\) 加一，第 \(i\) 秒时需要保证 \(\forall x,v_x>i\)，求出最大的 \(i\) 使得存在一种操作方式，到第 \(i\) 秒时仍然合法，\(n\le10^6\)

分析

一个 \(k\) 的答案为

\[\min \left\{x-1 \middle| \;\sum_{t=1}^n \max(0,x+1-v_t)>kx\right\} \]

令 \(f(x)=\sum_{t=1}^n \max(0,x+1-v_t)\)，显然为一个下凸的分段函数，容易 \(O(n\log n)\) 求出每一段的情况

对于一个 \(k\)，容易二分出一次函数和凸包的交点

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

注意 \(k\) 单调增加时交点移动是单调的，因此实际可以做到除排序外 \(O(n)\)

T2 P110121 跳跃（jump）

题意

给定一个 \(0/1\) 串 \(s_{1\sim n}\) 和参数 \(k\)，\(q\) 次询问，每次给定 \(a,b\)，保证 \(s_a=s_b=1\)，从 \(a\) 位置出发，每次至多跳跃 \(k\) 的距离（\(a\to [a-k,a+k]\)），求出到达 \(b\) 的情况下移动到 \(0\) 位置的次数最少，部分数据点在此要求的基础上要求步数最少，\(n,q\le 5\times10^5\)

分析

对于一组询问 \((a,b)\)，假定 \(a<b\)，\(a,b\) 之间极长 \(0\) 段的长度依次为 \(L_{1\sim k}\)，则第一问的答案为 \(\sum_i \left\lfloor\frac{L_i}k\right\rfloor\)，容易 \(O(n)\) 预处理 \(O(\log n)\) 回答一次，离线则可以做到 \(O(n+q)\)

要求出第二问，先考虑 \(\max L_i<k\) 的情况，此时显然最优方案为从 \(a\) 出发跳到 \((a,a+k]\) 中的一个 \(1\) 的位置，直到 \(a\ge b\)，容易倍增求出答案

若 \(L_i\ge k\)，则从这段 \(L_i\) 中删去 \(L_i-(L_i\bmod k)\) 个，并将 \(\left\lfloor\frac{L_i}k\right\rfloor\) 计入答案，则转化为以上特殊情况

容易做到时间复杂度 \(O(n\log n+q\log n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

T3 P110122 圆环（circle）

题意

一个长度为 \(n\) 的环上两个指针，初始分别在 \(1\) 和 \(n\)，两者可以在任意时刻移动任意距离，两者可以重叠和互相穿越，\(m\) 组限制形如第 \(x\) 秒时至少一个指针位于位置 \(y\)，求总移动距离的最小值，\(n,m\le3\times10^5\)，保证所有限制互不相同，且同一秒至多存在两个限制

分析

先删去不存在限制的秒，将剩下的时间缩起来，令 \(lm_i\) 为 \(i\) 时刻的限制的集合，令 \(lm_0=\{1\}\)

令 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 秒结束时一个指针在 \(lm_{i,0}\)，另一个在 \(j\) 的最小移动距离，显然 \(f_{0,n}=0\)，答案为 \(\min f_m\)

令 \(ds_{a,b}=\min(|a-b|,n-|a-b|)\) 为环上两点之间距离

对于时刻 \(i\)，令 \(p=lm_{i-1,0},r=lm_{i,0}\)，则转移为

\[f_{i,p}\gets ds(q,r)+f_{i-1,q}\\ f_{i,q}\gets ds(p,r)+f_{i-1,q} \]

若 \(|lm_i=2|\)，令 \(d=lm_{i,1}\)，则

\[f_{i,d}\gets f_{i,p}+ds(p,d)\\ f_{i,\ne d}\gets \infty \]

发现实际上可以转化为对一个数组 \(dp\) 进行以下几类操作：

1. 初始化
2. 全设为 \(\infty\)
3. 全局加
4. 给定 \(t\) 求 \(\min_i (ds(i,t)+dp_t)\)
5. 给定 \(p,v\)，\(dp_p\gets \min(dp_p,v)\)
6. 给定 \(p\) 返回 \(dp_p\)
7. 求全局 \(\min\)

线段树维护，每个结点 \([l,r]\) 保存 \(\min_{i=l}^r dp_i,\min_{i=l}^r (dp_i+i),\min_{i=l}^r (dp_i-i)\) 和加法标记，全局置为 \(\infty\) 等价于全局加 \(\infty\)，注意范围

总时间复杂度 \(O(n+m\log n)\)

代码

T3 P110123 翻转（reverse）

题意

令 \(R_k(n)\) 表示在 \(k\) 进制下 \(n\) 数位逆序得到的结果，给定 \(k,n\)，求出 \(\sum_{x=1}^n [x\mid R_k(x)]\)，\(2\le k\le 16,n\le k^{100000}\)

分析

对于合法的 \(x\)，显然 \(|R_k(x)|\le |x|\)，而 \(x\mid R_k(x)\)，因此 \(1\le \frac{R_k(x)}x<k\)

枚举 \(m=\frac{R_k(x)}x\)，计算合法的 \(x\) 的数量

先考虑计算 \(|x|<|n|\) 的方案数

令 \(f_{i,a,b,0/1}\) 表示长度为 \(i\)，乘以 \(m\) 后，最高位向下一位进位 \(a\)，最低位的上一位向其进位 \(b\)，当前这一段是否不强制要求无前导 \(0\) 的方案数

显然

\[f_{0,a,b,c}=[a=b]\\ f_{1,a,b,c}=\sum_{i=c}^{k-1}[i+ak=im+b]\\ \]

考虑一般情况下的转移

枚举最低位的值 \(j\)，则乘以 \(m\) 得到 \(mj+b\)，进位后剩余 \((mj+b)\bmod k\)，从而最高位 \(i=(mj+b)\bmod k\)（因为翻转），若 \(i<c\) 则违背限制直接跳过，否则设转移到的状态为 \(f_{l-2,x,y,0}\)，显然有 \(im+x=ka+j,jm+b=i+yk\)，从而 \(x=ka+j-im\)，\(y=\frac{jm+b-i}k\)，若 \(x,y\) 都在 \([0,k)\) 中则可以转移

为了加速，可以预处理每个 \((a,b,c)\) 的后继状态的集合，实际转移较少

这部分对答案的贡献显然为 \(\sum_{l=1}^{|n|-1} f_{l,0,0,1}\)，记忆化搜索即可

然后考虑计算 \(|x|=|n|\) 的方案数

令 \(g_{l,a,b,f,r}\) 表示考虑正中间长度 \(l\) 的一段，，乘以 \(m\) 后，最高位向下一位进位 \(a\)，最低位的上一位向其进位 \(b\)，当前段以前的部分是否紧贴上界，当前段以后的部分是否超过上界，该情况下的方案数

显然对答案的贡献为 \(g_{|n|,0,0,0,0}\)

令 \(n_i\) 表示 \(n\) 从高到低第 \(i\) 位（从 \(0\) 开始），显然

\[g_{l,a,b,0,r}=f_{l,a,b,0}\\ g_{0,a,b,f,r}=[a=b\land \lnot r]\\ \]

令 \([lm,rm]=\left[[l=|n|],n_{\left\lfloor\frac{|n|-l}2\right\rfloor}\right]\) 为最高位的取值范围，则

\[f_{1,a,b,f,r}=\sum_{i=lm}^{rm}[i+a\times k=i\times m+b\land(\lnot r\lor i<rm)] \]

令 \(rrm=s_{|n|-1-\left\lfloor\frac{|n|-l}2\right\rfloor}\) 为最低位的限制，枚举 \(lm\le i\le rm\) 为当前最高位，\(0\le j<k\) 为当前最低位，与 \(f\) 类似地 \(x=ka+j-im\)，\(y=\frac{jm+b-i}k\)（若 \(y\) 不是整数或 \(x,y\) 超出 \([0,k)\) 则直接返回），令 \(g_{l,a,b,f,r}\) 加上 \(g_{l-2,x,y,[i<rm],[j>rrm]+[j=rrm]r}\)

总时间复杂度 \(O(k^4+k^4|n|)\)，其中后一项常数极小

代码

比赛结果

\(100+76+68+8\)，\(\text{rk}28\)