做题记录 25.8.28

\(\textcolor{black}\odot\) P5979 [PA 2014] Druzyny

暴力 \(dp\) 显然为

\[f_i=\max_{0\le j<i,\;i-j\in \bigcap_{k=j+1}^i [c_k,d_k]} f_j+1 \]

考虑 \(\text{CDQ}\) 分治，设目前处理区间 \([l,r]\)，中心为 \(M\)，则需要处理所有 \(l\le j\le M<i\le r\) 的转移 \(j\to i\)

令 \(lmxl_i = \max c_{i\sim M}\)，\(lmnr_i = \min d_{i\sim M}\)，\(rmxl_i = \max c_{M+1\sim i}\)，\(rmnr_i = \min d_{M+1\sim i}\)

则转移变为

\[f_i=\max_{l\le j\le M,lmxl_{j+1}\le i-j\le lmnr_{j+1},rmxl_i\le i-j \le rmnr_j} f_j+1 \]

枚举 \(i\)，\(i=lmxl_{j+1}+j\) 时加入 \(f_j\)，\(i=lmnr_{j+1}+j+1\) 时删去 \(f_j\)，线段树维护目前加入的 \(f_j\) 的区间和，则查询 \([i-rmnr_i,i-rmxl_i]\)

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) P11714 [清华集训 2014] 主旋律 \(\quad\) UOJ #37. 【清华集训2014】主旋律

令 \(e(s,t)\;(s,t\subset [1,n]\cap\mathbb N)\) 表示 \(u\in s,v\in t,(u,v)\in E\) 的 \((u,v)\) 的数量

令 \(f_s\) 表示点集 \(s\) 的导出子图中选择边的子集使得 \(s\) 为 \(\text{SCC}\) 的方案数

若子集 \(s\) 的导出子图不是 \(\text{SCC}\)，则它缩点后得到一张 \(\text{DAG}\)，设这张 \(\text{DAG}\) 中入度为 \(0\) 的点在原图上对应的点集为 \(t\)（即 \(t\subset s\)，\(t\) 中点 \(\text{SCC}\) 缩点后得到若干独立 \(\text{SCC}\)）

对于一个 \(s\)，对于它的一种划分 \(P\)（\(P\) 为集族），其中每个 \(b\in P\) 组成一个 \(\text{SCC}\)，整体构成一张 \(\text{DAG}\)

令 \(h_S\;(S\subseteq P)\) 表示钦定 \(S\) 中 \(\text{SCC}\) 缩点后入度为 \(0\) 的方案数

令 \(h'_S\;(S\subseteq P)\) 表示缩点后入度为 \(0\) 的 \(\text{SCC}\) 的集合恰好为 \(S\) 的方案数

显然这组 \(P\) 对 \(f_s\) 的贡献为

\[\sum_{S\subseteq P,S\ne\mathbb\emptyset} h'_S \]

显然有

\[h_S=\sum_{S\subseteq T\subseteq P} h'_T \]

子集反演得

\[h'_S=\sum_{S\subseteq T\subseteq P}(-1)^{|S|-|T|} h'_T \]

令 \(P^\ast(s)\) 表示 \(s\) 的划分的集合，则

\[\begin{aligned} f_s=&2^{e(s,s)}-\sum_{P\in P^\ast(s)}\sum_{S\subseteq P,S\ne\mathbb\emptyset} \sum_{S\subseteq T\subseteq P}(-1)^{|S|-|T|} h'_T\\ =&2^{e(s,s)}-\sum_{P\in P^\ast(s)}\sum_{T\subseteq P,T\ne\mathbb\emptyset}(-1)^{|T|}h'_T\sum_{S\subseteq T,S\ne\mathbb\emptyset}(-1)^{|S|}\\ =&2^{e(s,s)}-\sum_{P\in P^\ast(s)}\sum_{T\subseteq P,T\ne\mathbb\emptyset}(-1)^{|T|+1}h'_T\\ \end{aligned} \]

令 \(g_t\) 为将 \(t\) 划分为若干 \(\text{SCC}\)，划分得到的数量为奇数的方案数减去偶数的方案数

显然

\[f_s=2^{e(s,s)}-\sum_{t\subseteq s,t\ne\mathbb\emptyset} 2^{e(s,s/t)}g_t\\ g_s=f_s-\sum_{t\subseteq s,t\ne\mathbb\emptyset,\min s=\min t} g_{s/t} f_t \]

其中 \(g\) 的转移为枚举 \(\min s\) 所在 \(\text{SCC}\) 的点集

特别地，\(g_s\) 贡献到 \(f_s\) 时不需要加上第一项 \(f_s\)，这样也解决了 \(f_s,g_s\) 互相依赖的关系，即

\[g_s\gets -\sum_{t\subseteq s,t\ne\mathbb\emptyset,\min s=\min t} g_{s/t} f_t\\ f_s\gets 2^{e(s,s)}-\sum_{t\subseteq s,t\ne\mathbb\emptyset} 2^{e(s,s/t)}g_t\\ g_s\gets f_s+g_s \]

发现只用到了 \(e(s,s)\) 和 \(e(s,s/t)\)，数量为 \(O(3^n)\) 的，容易 \(O(3^n)\) 处理用到的位置

总时间复杂度 \(O(3^n)\)，容易做到空间复杂度 \(O(2^n)\)

luogu \(\quad\) UOJ

参考