做题记录 25.8.27

\(\textcolor{black}\odot\) P10145 [WC2024] 线段树

若线段树的结点 \(u\) 权值确定则 \(L_u,R_u\) 连边（\(L_u,R_u\) 为点 \(u\) 对应区间），则限制 \((l,r)\) 满足当且仅当 \(l,r\) 在同一连通块中

每组限制赋随机权值，令 \(v_i\) 表示 \(i\to i+1\) 这条边被覆盖到的权值的异或和，则限制 \((l,r)\) 相当于 \(v_{l\sim r-1}\) 都异或上该随机权值

考虑在给定的线段树上 \(dp\)

令 \(f_u\) 表示子树 \(u\) 中 \(L_u\) 和 \(R_u\) 连通的方案数，令 \(g_{u,i}\) 表示子树 \(u\) 中，\(L_u\sim i\) 都和 \(L_u\) 连通，\(i+1\) 不与 \(L_u\) 连通的方案数

若 \(R_u-L_u=1\) 则 \(f_u=g_{u,L_u}=1\)

答案显然为 \(f_u+\sum_i [v_i=0] g_{u,i}\)

设子树 \(u\) 的范围为 \([l,r)\)，左右儿子为 \(ls,rs\)，分割点为 \(m\)，转移为

\[g_{u,p}\gets g_{ls,p}f_{rs}\;(l\le p<m)\\ g_{u,p}\gets f_{ls}g_{rs,p}\;(m\le p<r)\\ g_{u,lp}\gets g_{ls,lp}g_{rs,rp}\;(l\le lp<m\le rp<r,v_{lp}=v_{rp})\\ f_{u}\gets 2f_{ls}f_{rs}+\sum_p g_{u,p}\\ \]

维护 \(g'_{u,k}=\sum [v_p=k]g_{u,p}\)，容易线段树合并做到 \(O(n\log n)\)

时间复杂度 \(O(n\log n+m)\)

代码

参考