做题记录 25.8.24

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1566F Points Movement

先将 \(a\) 从小到大排序

去除与一个 \(a_i\) 有交的线段，对于一组互相包含的线段保留最内层的

显然剩下的所有线段两端点都递增且属于一个空隙 \((a_{i-1},a_i)\)（假定 \(a_0=-\infty,a_0=\infty\)）

显然最优情况为每个 \(a_i\) 选出 \(l_i\le a_i\le r_i\)，所有 \(a_i\) 的 \([l_i,r_i]\) 无交，且每条线段都与某个 \([l_i,r_i]\) 有交，一个 \(a_i\) 的代价为 \(r_i-l_i+\min(a_i-l_i,r_i-a_i)\)

令 \(f_{i,0/1}\) 表示考虑 \(l_{1\sim i}\) 和 \(r_{1\sim i-1}\)，他们的最小总代价，且 \(a_i\) 先走到 \(l_i/r_i\)

对于一组空隙 \(a_{i-1},a_i\)，设其中的线段依次为 \([l_i,r_i]\mid 1\le i\le k\)，令 \(L=a_{i-1}+l,R=r+a_i\)（此处 \(+\) 表示拼接），转移为

\[\forall x,l\gets L_x-a_{i-1},r\gets a_i-R_x:\\ f_{i-1,0}+l+2r\to f_{i,0}\\ f_{i-1,1}+2l+2r\to f_{i,0}\\ f_{i-1,0}+l+r\to f_{i,1}\\ f_{i-1,1}+2l+r\to f_{i,1} \]

时间复杂度 \(O(\sum(n\log n+m\log m))\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1562E Rescue Niwen!

令 \(lcp_{i,j}=\text{lcp}(s_{i\sim n},s_{j\sim n})\)

当选择 \([l,r]\) 时，必然存在一种最优解使得 \([l,r+1\sim n]\) 依次被选

证明：

• 若最优解中 \([l,r]\) 被选，且 \([l,r+1]\) 没有被选，则说明 \([l,r]\) 下一个被选的元素 \([i,j]\) 满足 \([l,r]<[i,j]\le [l,r+1]\)
• 若 \([i,j]=[l,r+1]\) 则可视为选择了 \([l,r+1]\)
• 若 \(j-i>r-l+1\)，则可在 \([l,r]\) 和 \([i,j]\) 之间插入 \([i,j-1]\)，当前情况不是最优的
• 显然 \(j-i\ge r-l+1\)，当 \(j-i=r-l+1\) 时，必有 \([l,r]=[i,j-1]\)，此时可视为选择了 \([i,j-1],[i,j]\)
• 归纳可得原结论成立

令 \(f_i\) 表示最后一个选了 \([i,n]\) 时的 \(\text{LIS}\)

转移为

\[f_i=\max\left(n-i+1,\max_{j<i,s_{j+lcp_{i,j}}<s_{i+lcp_{i,j}}}(f_j+n-(i+lcp_{i,j})+1)\right) \]

时间复杂度 \(O(\sum n^2)\)

代码

参考