做题记录 25.8.13

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1585F Non-equal Neighbours

令 \(F(k)\) 表示钦定 \(k\) 组 \(b_i=b_{i+1}\) 的贡献，则答案为 \(\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k F(k)\)，相当于将 \(n\) 个数划分为 \(n-k\) 段，每段的贡献为段内最小值，总贡献为每段的贡献之积

令 \(f_{i,j}\) 表示 \(1\sim i\) 划分为 \(j\) 段的贡献，则答案为 \(\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k f_{n,n-k}\)，转移为 \(f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1} f_{k,j-1} \min_{l=k+1}^i a_l\)

发现 \(j\) 只有奇偶性有用，因此第二维只保留奇偶性，答案变为 \(f_{n,n\bmod 2}-f_{n,(n-1)\bmod 2}\)，转移为 \(f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^i a_l\)

暴力实现为 \(O(n^2)\) 的

对于一个 \(i\)，求出 \(p_i\) 表示 \(i\) 以前第一个 \(<a_i\) 的位置，则

\[\begin{aligned} f_{i,j}=&\sum_{k=0}^{i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^i a_l\\ =&\sum_{k=p_i}^{i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^{i-1} a_l+\sum_{k=0}^{p_i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^i a_l\\ =&\sum_{k=p_i}^{i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^i a_l+\sum_{k=0}^{p_i-1} f_{k,j\oplus 1} \min_{l=k+1}^i a_l\\ =&\sum_{k=p_i}^{i-1} f_{k,j\oplus 1}\cdot a_i+f_{p_i,j} \end{aligned} \]

前缀和优化容易做到 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1585E Frequency Queries

离线，树上前缀和，转化为 \(O(n)\) 次加入、删除值，\(O(q)\) 次查询出现次数少于给定值的值的数量，及查询任意一种出现次数排名为给定值的值

线段树配合 set 即可，时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

注意常数

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1584F Strange LCS

令 \(f_{c,s}\) 表示第一个字符为 \(c\)，\(n\) 个字符串中 \(c\) 选择的位置用 \(s\) 表示，其中 \(s\) 的第 \(i\) 位为 \(0\) 表示第 \(i\) 个字符串中选择了第一个 \(c\)，为 \(1\) 表示第 \(i\) 个字符串中选择了第二个 \(c\)，该情况下能得到的 \(\text{LCS}\) 的最大值

转移则枚举下一个字符 \(c'\)，贪心地确定下一步的 \(s'\)，记忆化搜索即可

时间复杂度 \(O(\sum n|\sum|^22^n)\)，其中 \(|\sum|=52\)

代码

参考