做题记录 25.8.15

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1578M The Mind

显然具体方案只和 \(a_1\) 有关

\(a_1\le x\) 的概率大约为 \(1-\left(1-\frac x{100}\right)^5\)，由此可以得到前 \(\frac i6\mid 0\le i\le 5\) 概率时的值 \(v_i\)，大约为 \([0, 3.58, 7.79, 12.94, 19.73, 30.12, 100]\)

当 \(a_1\in(v_{i-1},v_i]\) 时恰好在第 \(i\) 次出牌即可（即第 \(i\) 次概率为 \(1\)，其余概率为 \(0\)），可证成功率为 \(\frac 56\)，略高于 \(85\%\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1578B Building Forest Trails

将环从 \(n-1\) 处断开，放到链上处理

显然用并查集维护连通性，问题转化为每次给定 \((x,y)\)，快速找到与之相交的连通块

每个连通块 \(S\)，设其中的点从左到右依次为 \(s_{1\sim k}\)，则 \(s_1-s_2\)，\(s_2-s_3\)，\(\cdots\)，\(s_{k-1}-s_k\) 之间连边

令 \(p_i\) 表示点 \(i\) 上方 的边的数量，显然相邻的 \(p\) 之差不超过 \(1\)

假设目前要合并 \(S\) 和 \(T\) 两个连通块

对于每个连通块 \(S\) 保存 \(l_S=s_1\)，\(r_S=s_k\)，若 \(l_S\le r_S<l_T\le r_T\)，则令 \(p_{r_S+1\sim l_T-1}\) 加一，否则必有 \(l_S<l_T\le r r_T<r_S\) 或 \(l_T<l_S\le r_S<r_T\)，前者需要 \(p_{l_T\sim r_T}\) 减一，后者同理

用线段树维护 \(p\)

假设要连接 \(u,v\)，且 \(u<v\)

若 \(p_u=p_v\)，找到 \((u,v)\) 中第一个 \(p\) 小于 \(p_u\) 的位置 \(s\)，显然与 \(s\) 所在连通块相交，合并之，否则无法合并，退出

若 \(p_u>p_v\)，同样找到 \(s\)（此时一定存在）并合并，\(p_u<p_v\) 则找到 \((u,v)\) 中最后一个小于 \(p_v\) 的位置并与 \(v\) 合并

时间复杂度 \(O(n\log n+m\alpha(n))\)，注意常数

代码

参考

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（9） 1005] 计算几何

对于所有极大共线子段，只保留第一个和最后一个点，特殊处理收尾，显然这样得到的 \(k\) 最优

对于每个点，求出它指向前后两个点的向量的叉积是否为正，要么对于所有点，它被包裹当且仅当其对应叉积为正，要么都为负，显然 \(x\) 坐标最小的一个点必然被包裹，用它修正结果即可

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)，瓶颈在于输出时的排序

注意 \(2\times (2\times 10^9-(-2\times10^9))^2\) 大于 LLONG_MAX，因此需要用 __int128_t 或 uint64_t

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（9） 1002] 预处理器

记录 \((a_1,b_1)\;\;op_1\;\;(a_2,b_2)\;\;op_2\;\;\cdots\;\;op_{k-1}\;\;(a_k,b_k)\)，其中 \(op_i\in\{\times,+,<<\}\)，\(a_i\) 表示值 \(\bmod M\)，\(b_i\) 表示值 \(\bmod (M-1)\)

求值时先将 \(\times\) 的从左到右缩在一起，然后是 \(+\)，最后是 \(<<\)

拼接时直接将序列用对应符号连接即可

显然这样时间复杂度为 \(\~O(2^n)\)

显然任意情况下，\(op_i=(\times)\) 时可以将 \((a_i,b_i)\) 和 \((a_{i+1},b_{i+1})\) 缩起来

然后对于任意 \(op_i=(+)\;(1<i<k)\) 也可以缩起来

若 \(op_{i-1}=op_i=op_{i+1}=(<<)\)，则可以把 \((a_i,b_i)\;\;<<\;\;(a_{i+1},b_{i+1})\) 缩为 \((a_i+a_{i+1},b_i+b_{i+1})\)

显然这样处理后，\(k\) 为常数

时间复杂度 \(O(n)\)，常数极大

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（9） 1010] 阿斯蒂芬

显然最优情况下同一 \(\text{SCC}\) 状态相同，且一个 \(\text{SCC}\) 沉寂当且仅当 它不是单点且缩点后能到达它的 \(\text{SCC}\) 中存在 \(a>0\) 的 或 它是单点且缩点后能到达它的非单点 \(\text{SCC}\) 中存在 \(a>0\) 的

实现是容易的，时间复杂度 \(O(\sum (n+m))\)

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（9） 1107] 三角剖分

将三角形看做点，两个三角形相邻则连边，选择任意一个两边为多边形边的三角形为根，显然得到一棵树

对于一个三角形，若它与它父亲之间相邻的一条边为 \(u-v\)，且 \(u<v\)，则用 \((u,v)\) 表示这个三角形

令 \(dp_{u,i}=(f,g)\) 表示点 \((u,v)\) 子树内 \(u,v\) 相连、不相连时的方案数，其中 \(v\) 为 \(u\) 的第 \(i\) 条出边指向的点（根据指向的点排序，从 \(0\) 开始编号）

设点 \((u,v)\) 为三角形 \((u,v,w)\)，其中 \(u<w<v\)，\(w\) 为 \(u\) 第 \(i-1\) 条出边指向的点，则 \(w-v\) 为 \(w\) 所有出边中最大的一条（若不是，设最大的一条为 \(w-k\)，则 \(w-k\) 与 \(u-v\) 相交，不合法）

显然 \(dp_{u,0}=(1,1)\)（两个点，连与不连各一种方案），转移为

\[dp_{u,i}=dp_{u,i-1}+dp_{w,|dp_w|-1} \]

其中 \((f_1,g_1)+(f_2,g_2)=(f_1g_2+f_2g_1+f_1f_2,f_1g_2+f_2g_1)\)

令 \(d(f,g)=f-g\) 表示不通过 \(u,v\) 就能连接的方案数，统计答案时，令 \(dp'_{u,i}\) 表示子树以外部分的答案，转移类似，则答案为 \(\sum_u \sum_i d(dp_{u,i})g(dp'_{u,i})+g(dp_{u,i})d(dp'_{u,i})\)

时间复杂度 \(O(n\log n)\)，瓶颈在于排序，容易做到 \(O(n)\)

代码