做题记录 25.8.14

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1585G Poachers

令 \(f_{u,l}\) 表示子树 \(u\) 中，距离 \(u\) 恰好为 \(l\) 的所有点 所在子树的 \(\text{SG}\) 函数值 的异或和，令 \(l_u\) 表示子树 \(u\) 中离 \(u\) 最近的叶子到 \(u\) 的路径上的点的数量，显然转移为

\[f_{u,l}=\bigoplus_{v\in son(u)}f_{v,l-1}\\ f_{u,0}=\text{mex}_{i=1}^{l_u} f_{u,i} \]

暴力实现为 \(O(n^2)\) 的，考虑长剖优化

一条长链上的 \(f\) 共用空间，起始位置，依次偏移 \(1\)

第一种转移是容易的，暴力实现即为 \(O(n)\)

考虑一个集合 \(S\)，要求插入删除并维护 \(\text{mex}\)，且值域一定，则可保存其补集和值域内所有数的出现次数，从而各种操作做到 \(O(\log n)\)

每条长链保存一个这样的结构，\(\text{dfs}\) 到链上 \(u\) 点时，集合内保存 \(\{f_{u,i}\}_{i=1}^{l_u}\)

若 \(u\) 不止一个儿子或没有儿子，则暴力清空集合后再暴力插入，否则维护增量

总时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1583F Defender of Childhood Dreams

先每 \(k\) 个点作为一个一类组，组内点互相连边权为 \(1\) 的边，然后每 \(k\) 个一类组作为一个二类组，组内还没有连边的点对之间连边权为 \(2\) 的边，以此类推

显然符合要求，可证颜色数最小

容易做到 \(O(n^2\log_k n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1582G Kuzya and Homework

令 \(v_i=\begin{cases}a_i&\text{if}~ b_i=\text{'*'}\\\frac1{a_i}&\text{if}~b_i=\text{'/'}\end{cases}\)，则等价于询问有多少个区间满足区间内任意前缀积都是整数

令 \(ct_{p,i}\) 表示 \(\prod_{j=1}^i v_j\) 中因子 \(p\) 的指数，则每个 \(a_i\) 对 \(ct\) 的影响为 \(O(\omega(V))\) 个 \(ct_{p,\ast}\) 的后缀加

区间 \([l,r]\) 合法当且仅当对于任意 \(p\)，有 \(ct_{p,l-1}\le ct_{p,r}\)，令 \(r_{l-1}\) 为左端点取 \(l\) 时第一个不合法的右端点，容易由 \(r\) 得到答案

考虑每个 \(ct_{p,\ast}\)，容易得到若干 \([l,r,v]\) 表示 \(ct_{p,l\sim r}=v\)，逆序扫描所有区间，容易对每个区间找到右侧第一个值小于它的位置，从而跟新 \(r\)

总时间复杂度 \(O(n\omega(V)\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1582F2 Korney Korneevich and XOR (hard version)

枚举 \(a_i\)，令 \(f_{i,j}\) 表示最后一项 \(<i\) 时异或和能否等于 \(j\)

初始 \(f_{\ge 1,0}=1\)，枚举到 \(a_i\) 时，对于所有 \(f_{a_i,k}=1\)，枚举 \(j>a_i\)，令 \(f_{j,k\oplus a_i}\gets 1\)

暴力实现为 \(O(nV^2)\) 的

发现对于每个 \(v\)，\(f_{\ast,v}\) 覆盖的为一段后缀，令 \(mx_v\) 表示最后一个没有被覆盖的位置，则只要枚举 \(a_i<j\le mx_{j\oplus a_i}\)，最后 \(mx_{j\oplus a_i}\gets a_i\) 即可

这样时间复杂度为 \(O(nV+V^2)\)，若用 bitset<>::_Find_first,bitset<>::_Find_next 则可做到 \(O(\frac{nV}\omega +V^2)\)

对于每个 \(f_{i,\ast}\) 开一个桶 \(b_i\)，表示 \(f_{i,j}=1\) 且还没有拓展过的 \(j\) 的集合

初始 \(b_i=\{0\}\)，枚举到 \(a_i\) 时，对于所有 \(k\in b_{a_i}\)，枚举 \(a_i<j\le mx_{j\oplus a_i}\)，此时 \(k\oplus a_i\) 为答案，\(b_{j}\) 中插入 \(k\oplus a_i\)，然后令 \(mx_{j\oplus a_i}\gets a_i\)，最后清空 \(b_{a_i}\)

时间复杂度 \(O(n+V^2)\)，空间复杂度 \(O(V^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1580B Mathematics Curriculum

等价于排列建出的笛卡尔树中有 \(k\) 个点的深度为 \(m\)，其中深度定义为到根的路径上的点数

令 \(f_{i,j,k}\) 表示大小为 \(i\) 的树中有 \(j\) 个结点深度为 \(k\) 的方案数

转移为

\[f_{i,j,k}=\sum_p \binom{n-1}{p-1}\sum_c f_{p-1,c,k-1}f_{i-p,j-c-[k=1],k-1} \]

时间复杂度 \(O(n^5)\)，注意常数

代码

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\(\blue\odot\) CF1578L Labyrinth

建立图的重构树，令 \(f_u\) 表示只考虑子树 \(u\) 的答案，令 \(s_u\) 表示子树 \(u\) 内 \(c\) 之和，考虑一次合并 \((u,v,w)\)

假设先和并子树 \(u\) 内所有 \(c\)，显然在此过程中合并一部分 \(v\) 中的 \(c\) 不优，因此两棵子树遍历过程独立，设合并后的子树为 \(t\)

遍历完 \(u\) 后要能穿过 \(w\)，且能遍历 \(v\)，则 \(f_t+s_u\le \min(f_v,w)\)，即 \(f_t\le \min(f_v,w)-s_u\)，若从 \(v\) 出发则 \(f_t\le \min(f_u,w)-s_v\)，两者取 \(\max\) 得 \(f_t=\max(\min(f_v,w)-s_u,\min(f_u,w)-s_v)\)

答案为重构树的根的 \(f\)（若 \(\le 0\) 则无解）

代码

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