做题记录 25.8.12

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1598F RBS

令 \(\text (\) 为 \(+1\)，\(\text )\) 为 \(-1\)

令 \(f_s\) 表示选择子集 \(s\) 重排，在所有前缀和都 \(\ge 0\) 的情况下，前缀和中 \(0\) 的数量的最大值，通过预处理每个字符串前缀和的 \(\min\) 和前缀和的桶，容易 \(O(n2^n+\sum |s_i|)\) 求出

先用 \(\max f\) 跟新答案

然后枚举字符串 \(i\)，考虑拼接上 \(i\) 后整个字符串存在 \(<0\) 的前缀

枚举 \(s,i\notin s\) 作为拼在 \(i\) 前面的部分，枚举 \(i\) 中的位置，钦定这个位置为最后一个计入答案的位置，要求其为前缀 \(\min\)，桶优化容易做到 \(O(n2^n+\sum |s_i|)\)

总时间复杂度 \(O(n2^n+\sum|s_i|)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1599A Weights

考虑逆序构造，若 \(s_n=\text R\)，则第 \(1,3,\cdots\) 大的放在右，第 \(2,4,\cdots\) 大的放在左，若 \(s_n=\text L\) 则交换

显然去掉最小值后一定不影响两侧大小关系，去掉最大值后一定影响大小关系

因此若 \(s_n\ne s_{n-1}\)，则第 \(n\) 次操作为放置最大值，否则为放置最小值

递归到 \(n-1\) 的情况，发现左右元素集合仍然符合要求，因此递归直到元素集为空即可

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1594F Ideal Farm

特判 \(s=k\) 的情况

当 \(k<s\) 时，转化为 \(0\sim s\) 这 \(s+1\) 个数中选择 \(n+1\) 个，强制选择 \(0\) 和 \(s\)，若对于所有放置方案都存在 \(i\) 使得 \(i\) 和 \(i+k\) 同时被选择，则合法，否则不合法

考虑求出不合法情况下最大放置数量，若 \(n+1\) 大于这一数量，则合法

显然 \(\bmod k\) 下每个等价类之间独立，有 \(s\bmod k+1\) 个大小为 \(\lfloor\frac sk\rfloor+1\) 的等价类和 \(k-s\bmod k-1\) 个大小为 \(\lfloor\frac sk\rfloor\) 的等价类

对于一个大小为 \(L\) 的等价类，显然至多选择 \(\lceil\frac L2\rceil\) 个

容易 \(O(1)\) 求出最大放置数量

时间复杂度 \(O(t)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1592F1 Alice and Recoloring 1

显然操作二和操作三都可用至多两次操作一替换，且替换后不劣，因此存在一组最优解使得只进行操作一和操作四

令 \(s_{i,j}=a_{i,j}\oplus a_{i+1,j}\oplus a_{i,j+1}\oplus a_{i+1,j+1}\)，则对 \((1\sim i,1\sim j)\) 进行操作一相当于 \(s_{i,j}\) 异或 \(1\)，对 \((i+1\sim n,j+1\sim m)\) 进行操作二相当于 \(s_{i,j},s_{i,m},s_{n,j},s_{n,m}\) 都异或 \(1\)

显然 \(s_{i,j},s_{i,m},s_{n,j},s_{n,m}\) 都是 \(1\) 时才会进行操作二，且节约一次操作，否则使用操作一不劣

综上，求出 \(s\) 后，若 \(s_{n,m}=1\) 且存在 \(1\le i<n,1\le j<m\) 使得 \(s_{i,j},s_{i,m},s_{n,j},s_{n,m}\) 都是 \(1\)，则答案为 \(1\) 的数量减 \(1\)，否则答案为 \(1\) 的数量

时间复杂度 \(O(nm)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1592E Bored Bakry

假设 \(\text{and}\) 和与 \(\oplus\) 和恰好在第 \(i\) 位不同，则合法区间长度为偶数，且 \(i\) 位上 \(a\) 都是 \(1\)，\(i\) 以上的位每位上 \(1\) 的数量都是偶数

枚举位 \(i\)，枚举第 \(i\) 位上是 \(1\) 的极大区间 \([l,r]\)，则要求出最长的 \([L,R]\subseteq [l,r]\) 使得 \(2\mid(R-L+1)\) 且 \(p_{L-1}=p_R\)，其中 \(p_x\) 表示 \(1\sim x\) 的异或和忽略 \(i\) 及以下位的结果

容易用桶优化

时间复杂度 \(O(n\log V)\)

代码

参考