做题记录 25.8.7

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1609E William The Oblivious

用一颗线段树保存 \(s\)，每个结点保存一个矩阵 \(\begin{bmatrix}A&AB&ABC\\ \infty&B&BC\\ \infty&\infty&C\end{bmatrix}\)，\(A,B,C,AB,BC,ABC\) 分别表示令区间中不存在子序列 \(A/B/C/AB/BC/ABC\) 所需的最小修改次数，发现信息合并就是 \((\min,+)\) 矩乘

容易做到 \(O(q\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1608E The Cells on the Paper

显然只需要考虑品字形和目字形即可

考虑它们的旋转，以及三种颜色的置换，一共有 \((2+4)\times 6!=36\) 种

预先对所有点排序，二分 \(k\)，枚举每种情况，判定容易做到线性

总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1608D Dominoes

令 \(\text W\to 0\)，\(\text B\to 1\)，\(\text ?\to 2\)，令 \(c_{i,j}\) 为 \(\overline{ij}\) 的数量

令 \(wl=\sum c_{0,\ast}\)，\(wr=\sum c_{\ast,0}\)，\(bl=\sum c_{1,\ast}\)，\(br=\sum c_{\ast,1}\)，\(ql=\sum c_{2,\ast}\)，\(qr=\sum c_{\ast,2}\)

假如所有 \(\text ?\) 都确定了，则 \(c_{0\sim 1,0\sim 1}\) 合法当且仅当 \(c_{0,0}=c_{1,1}\)，且 \(c_{0,1}>0\land c_{1,0}>0\) 时额外要求 \(c_{0,0}=c_{1,1}>0\)（对于 \(\overline{ij}\)，\(i\) 向 \(\lnot j\) 连边，则要求连出的图存在欧拉回路，容易得出以上结论）

考虑求出 \(c_{0,0}=c_{1,1}\) 的方案数，然后减去 \(c_{0,1}>0\land c_{1,0}>0\land c_{0,0}=c_{1,1}=0\) 的方案数即为答案

对于前者，枚举 \(c_{0,0}=c_{1,1}=i\)，此时 \(c_{1,0}=c_{0,1}=n-i\)，贡献为 \(\binom {ql}{i-bl}\binom{qr}{n-i-br}\)

对于后者，进一步拆为 \(c_{0,0}=c_{1,1}=0\) 的方案数减去 \(c_{0,1}>0\land c_{1,0}=c_{0,0}=c_{1,1}=0\) 的方案数减去 \(c_{1,0}>0\land c_{0,1}=c_{0,0}=c_{1,1}=0\) 的方案数，第一项显然等于 \([c_{0,0}=c_{1,1}=0]2^{c_{2,2}}\)（此处的 \(c\) 为根据不完整的 \(s\) 计算出的），后面两项分别等于 \([wl=br=0]\) 和 \([wr=bl=0]\)

总时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1606D Red-Blue Matrix

将所有行按第一列的值升序排序后，显然是选择 \(n\) 行的一个前缀为蓝色，剩余的行为红色

行分割点有 \(n-1\) 种选择，列分割点有 \(m-1\) 种选择，总计 \((n-1)(m-1)\) 种选择，对于每个位置预处理左上 \(\max\)，右上 \(\min\)，左下 \(\min\)，右下 \(\max\)，即可 \(O(1)\) 判定

容易做到 \(O(\sum (n\log_n V+nm))\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1605E Array Equalizer

令 \(c_i=a_i-b_i\)，则转化为最终令 \(c\) 变为 \(0\)

令 \(b_1=x\)，从 \(1\) 到 \(n\) 枚举 \(i\)，对于所有 \(k>1\)，令 \(c_{ik}\) 减去 \(c_i\)，然后令操作次数加上 \(|c_i|\)

显然最终操作次数可以写为 \(\sum_{(k,b)}|kx+b|\)（其中 \(k\ge 0\)）

令 \(bs=\sum_{(k,b)\mid k=0}|b|\)，则答案为 \(bs-\sum_{(k,b)\mid \frac bk<-x}(kx+b)+\sum_{(k,b)\mid \frac bk>-x}(kx+b)\)

将二元组根据 \(\frac bk\) 排序，并计算其前缀和，单次询问容易做到 \(O(\log n)\)

总时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1603F October 18, 2017

\(x=0\) 时，相当于要求 \(a\) 中 \(n\) 个数线性无关，方案数显然为 \(\prod_{i=1}^n (2^k-2^{i-1})\)（枚举每个，选择第 \(i\) 个时不能在前 \(i-1\) 个张成的空间中，因此 \(2^{i-1}\) 个不能选），\(n>k\) 时答案为 \(0\)，容易 \(O(k)\) 求出

\(x>0\) 时，相当于要求 \(x\) 不在 \(a\) 张成的空间内

可证答案为

\[\sum_{i=1}^k (-1)^{i-1}(2^{k-i})^{n+1}\prod_{j=1}^{i-1}(2^{k-j}-1) \]

容易做到 \(O(\sum(k\log V))\)

代码

参考