做题记录 25.8.4

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1623E Middle Duplication

对于点 \(u\)，若左儿子存在且左儿子复制，则 \(u\) 复制；若 \(s_u\) 小于 中序遍历中下一个与 \(s_u\) 不同的字符，且复制 \(u\) 后顺带需要复制的节点数量（它的一部分祖先，若 \(u\) 复制则这些祖先复制）不超过 \(k\)，则 \(u\) 复制；若 \(u\) 复制且存在右儿子，则递归考虑右儿子是否复制

直接模拟即可，时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1620G Subsequences Galore

令 \(a_{i,j}\) 为 \(s_i\) 中第 \(j\) 个字母的出现次数

令 \(Ss(s_i)\) 表示 \(s_i\) 的子序列集合，显然 \(|Ss(s_i)|=\prod_j (a_{i,j}+1)\)

对于所有 \(S\subseteq U=\{1,2,\cdots,m\}\)，要求出 \(f(S)=|\bigcup_{u\in S}Ss(s_u) |\)

而

\[\begin{aligned} f(S)&=\left|\bigcup_{u\in S}Ss(s_u)\right|\\ &=\left|\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \left|\bigcap_{u\in T}Ss(s_u)\right|\right|\\ &=\left|\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \prod_j \left(\min_{u\in T}a_{u,j}+1\right)\right|\\ \end{aligned} \]

对于每个 \(S\subseteq U\) 求出 \((-1)^{|S|-1} \prod_j \left(\min_{u\in S}a_{u,j}+1\right)\)，对其 \(\text{FWT}\) 即可求出答案

时间复杂度 \(O(\sum |s_i|+|\sum|2^n+n2^n )\)，其中 \(|\sum|\) 为字符集大小

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（6） 1001] cats 学乘法

存在 \(0\) 时显然答案为 \(0\) 的数量（每个 \(0\) 操作一次，容易配为正数），否则若乘积已经为整数则答案为 \(0\)，否则为最小的绝对值加一

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（6） 1008] cats 的 max

当 \(k\ge m\) 时显然可以选择 \(m\) 个最大值所在行，答案为 \(\sum_{j=1}^m \max_{i=1}^n a_{i,j}\)

否则令 \(fmx_s=\max_{i=1}^n \sum_{u\in s}a_{i,u}\)，转化为选择不超过 \(k\) 个 \(fmx_s\) 使得它们之间无交且总和最大，容易 \(dp\) 解决

时间复杂度 \(O(\sum (n2^m+k3^m))\)

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（6） 1011] 取模

令 \(cnt\) 为 \(a\) 中不同值的数量

特判 \(cnt\le c\) 的情况

对于一个 \(k\)，值域 \([0,m]\) 可根据 \(\lfloor\frac vk\rfloor\mid v\in[0,m]\) 划分为 \(\lfloor\frac mk\rfloor+1\) 段

显然每段内至多有 \(c\) 个数，因此数字数量的上限为 \(c(\lfloor\frac mk\rfloor+1)\)，即 \(c(\lfloor\frac mk\rfloor+1)\le cnt\)，可得 \(k\le \frac m{\left\lfloor\frac{cnt-1}c\right\rfloor}=O(\frac{mc}{cnt})\)

每个 \(k\) 容易 \(O(cnt)\) 验证，总时间复杂度 \(O(n+mc)\)

代码

[2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（6） 1002] 隧道挖掘

先考虑 \(k_2\le k_1\) 的情况

考虑每个 \(a\)，对于 \(a\ge k_1\) 的情况，显然只用操作 \(1\) 最优，操作次数为 \(\lceil\frac a{k_1}\rceil\)，否则只能用操作 \(2\)，要求 \(k_2\mid a\)，操作次数为 \(\frac a{k_2}\)

枚举 \(k_1\)，容易 \(O(m\ln m)\) 维护 \(\sum_{a\ge k1} \lceil\frac a{k_1}\rceil\)，显然 \(k_2\mid \gcd_{a<k_1} a\)，因此取 \(k_2=\gcd_{a<k_1} a\) 最优，容易维护 \(\sum_{a<k_1}a\) 和 \(k_2\)

因此这部分时间复杂度为 \(O(m\ln m)\)

然后考虑 \(k_1\le k_2\) 的情况

当 \(a<k_1\) 时显然无法操作，因此 \(k_1\le \min a\)，令 \(mn=\min a\)

\(a\ge k_1\) 时，操作次数为 \(\lfloor\frac a{k_2}\rfloor+\lceil\frac{a\bmod k_2}{k_1}\rceil\)

当 \(k_2\le mn\) 时，显然 \(k_1=k_2\) 最优，已经包含在 \(k_2\le k_1\) 的情况中，不再考虑，因此只需要考虑 \(k_2>mn\) 的情况，此时 \(k_1=mn\)

转化为维护 \(\sum_a (\lfloor\frac a{k_2}\rfloor+\lceil\frac{a\bmod k_2}{mn}\rceil)\)

\(\sum_a \lfloor\frac a{k_2}\rfloor\) 容易 \(O(m\ln m)\) 维护，对于 \(\sum_a \lceil\frac{a\bmod k_2}{mn}\rceil\)，枚举每个区间 \([l,r]=[k\times mn+1, (k+1)\times mn)\mid k\in\mathbb N\)，令 \(c_x\) 为 \(=x\) 的 \(a\) 的数量，则转化为求 \(\sum c_{l\sim l+mn-1}+2\sum c_{l+mn\sim l+2mn-1}+\cdots +\lfloor\frac{r-l}{mn}+1\rfloor \sum c_{l+\lfloor\frac{r-l}{mn}\rfloor mn \sim r}\)，预处理 \(sm_l\) 表示 \([l,r]=[l,m]\) 时的答案，容易 \(O(1)\) 计算一个以上形式的和

总时间复杂度 \(O(\sum (n+m\ln m))\)

代码