做题记录 25.8.2

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1632E2 Distance Tree (hard version)

令 \(ds_u\) 为 \(u\) 到 \(1\) 的距离

显然最优情况下选择的路径一端一定为根，否则假设选了 \((u,v)\)（\(ds_u\ge ds_v\)）则易得换为 \((1,u)\) 一定不劣

对于一个 \(x\)，考虑判定一个值 \(rs\) 能否成为答案（即是否有最小值 \(\le rs\)），由于 \(x\) 递增时答案不降，因此用双指针转化为 \(O(n)\) 次判定 \((x,rs)\) 是否合法

\((x,rs)\) 合法当且仅当存在点 \(u\)，使得对于任意 \(ds_v>rs\) 的点都有 \(dis(u,v)\le rs-x\)

特判 \(rs\ge \max_u ds_u\) 的情况，此时显然合法

否则找到 \(S=\{v\mid ds_v>rs\}\)（此时 \(S\ne\mathbb\emptyset\)）中距离最远的一对点 \((x,y)\)，取 \(u\) 为两者的一中点，\(v\) 为距离中点较远的一端，需要有 \(\left\lceil\frac{dis(x,y)}2\right\rceil\le rs-x\)

显然 \(dis(x,y)\) 只和 \(rs\) 有关，因此考虑预处理 \(f_{rs}\) 表示对应的 \(dis(x,y)\)

找到 \(ds\) 最大的点 \(r\)，则 \(f_d=\max(f_{d+1},\max_{ds_u=d+1}dis(u,r))\)

容易 \(O(n)\) 预处理

总时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1630D Flipping Range

令 \(b=\{\gcd b\}\) 答案不变

证明：

若存在 \(x\in b,y\in b,y>x\)，考虑所有长度为 \(y-x\) 的区间 \([l,l+y-x)\)（下标从 \(0\) 开始）
当 \(l\ge x\) 时，翻转 \([l-x,l+y-x)\) 和 \([l-x,l)\)，等价于翻转 \([l,l+y-x)\)
当 \(l<x\) 时，翻转 \([l,l+y)\) 和 \([l+y-x,l+y)\)，等价于翻转 \([l,l+y-x)\)（由于 \(x,y\le \frac n2\)，因此 \(l+y<x+y\le n\) 在范围内）
可以认为 \(y-x\) 也在 \(b\) 中
反复迭代，可认为 \(\gcd(x,y)\) 在 \(b\) 中，且显然 \(\gcd(x,y)\) 可以替代 \(x\) 和 \(y\)，删去 \(x,y\) 后加入 \(\gcd(x,y)\)
重复直到 \(|b|=1\) 即可

令 \(g=\gcd b\)，则问题转化为每次翻转 \(a\) 一个长度为 \(g\) 的区间，求总和的最大值

令 \(s_i\) 表示最终 \(i\) 位置是否翻转，则 \(s\) 可达当且仅当对于任意 \(0\le i<g\)，有 \(\bigoplus_d [d\equiv i\pmod g]s_d\) 相同

证明：

令 \(t_i=\bigoplus_d[d\equiv i\pmod g]s_d\)
显然初始 \(t_i=0\)，每次操作后所有 \(t_i\) 都翻转
因此 \(t\) 都相同是 \(s\) 合法的必要条件
考虑构造操作以证明充分性
对于最终状态 \(s'\)，若 \(t'_i=1\)，则从初始状态 \(s\) 开始先翻转 \([0,g)\)，反之不操作
对于一个等价类 \(\{0\le d<n\mid d\equiv i\pmod g\}\)，若能同时翻转 \(d\) 和 \(d+g\) 位置，则这一等价类在 \(t_i\) 不变的情况下可以任意改变 \(s\) 中对应位置
显然翻转 \([d,d+g)\) 和 \((d,d+g]\) 即可实现这一点
从而得到充分性

考虑每个 \(\bmod g\) 的等价类 \(i\)，令 \(f_{i,0}\) 表示等价类中选择偶数个位置翻转得到的 \(a\) 的总和的最大值，\(f_{i,1}\) 表示选择奇数个位置翻转，容易 \(O(n)\) \(dp\) 出，最终答案为 \(\max (\sum f_{\ast,0},\sum f_{\ast,1})\)

时间复杂度 \(O(\sum(n+m+\log V))\)

代码

参考