做题记录 25.7.30

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1637F Towers

令 \(h\) 最大的点 \(rt\) 为根，则它需要有至少两个子树内存在势能 \(\ge h_{rt}\) 的点，对于所有 \(x\ne rt\)，只需要子树 \(x\) 内存在势能 \(\ge h_x\) 的点即可（路径另一端取 \(rt\) 另一子树内势能 \(\ge h_{rt}\) 的点即符合要求）

从下向上处理，记录每个子树内势能的最大值，处理到结点 \(x\) 时，若 \(x=rt\) 则从它的所有儿子中选择所在子树最大值最大的两个，都增加至 \(\ge h_x\)，否则选择一个增加至 \(h_x\) 并跟新最大值

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1634F Fibonacci Additions

维护 \(c=a-b\)，则 \(a=b\) 当且仅当 \(\forall i,c_i=0\)

令 \(d_i=c_i-c_{i-1}-c_{i-1}\)，则 \(c\) 的 \([l,r]\) 加斐波那契等价于 \(d_l\) 加一，\(d_{r+1}\) 减去 \(F_{r-l+2}\)，\(d_{r+2}\) 减去 \(F_{r-l+1}\)（其中 \(F\) 为斐波那契数列）

\(c\) 全 \(0\) 等价于 \(d\) 全 \(0\)，因此维护 \(d\) 中 \(0\) 的数量即可

时间复杂度 \(O(n+q)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1635F Closest Pair

令 \(L_i\) 为 \(i\) 左侧第一个 \(w_p\le w_i\) 的位置 \(p\)，\(R_i\) 为 \(i\) 右侧第一个 \(w_p\le w_i\) 的位置 \(p\)，则最优解一定为选择一个 \([L_i,i]\) 或 \([i,R_i]\)

证明：

• 假如选择的不是两类之一，设选择了 \([l,r]\)，\(w_l\le w_r\)（若 \(w_l>w_r\) 则对称），且 \(l\ne L_r\)，显然 \(l<L_r\)，若 \(w_{L_r}\le w_l\) 则取 \([L_r,r]\)，否则取 \([l,L_r]\) 并继续尝试即可，显然权值更小
• 选择一个 \([L_i,i]\)（\([i,R_i]\) 与之对称），显然对于任意 \(j\in (L_i,i)\)，\([L_i,j]\) 和 \([j,i]\) 都劣于 \([L_i,i]\)
• 因此最优情况下选择的一定为 \([L_i,i]\) 或 \([i,R_i]\)

剩余部分容易扫描线解决，时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1648D Serious Business

令 \(a,b,c\) 为三行的前缀和，\(Q\) 为操作集合，\(f_i\) 为从 \((1,1)\) 走到 \((2,i)\) 的最大收益，则答案为 \(\max_{i=1}^n (f_i+c_n-c_i)\)，考虑如何求出 \(f_i\)

枚举最后一个区间 \((l,r,k)\)，满足 \(l\le i\le r\)，若第一行到第二行的转折点在当前区间以前，则

\[f_i\gets \max_{(l,r,k)\in Q,l\le i\le r}(f_{l-1}+b_i-b_{l-1}-k) \]

在 \(dp\) 过程中令 \(S\) 为 \(\{f_{l-1}-b_{l-1}-k \mid (l,r,k)\in Q,l\le i\le r\}\)，则转移为 \(f_i\gets \max S-b_i\)，容易 \(O((n+q)\log n)\) 维护这部分

若转折点在当前区间中，则

\[f_i\gets \max_{(l,r,k)\in Q,l\le i\le r}\max_{l\le j\le i}(a_j+b_i-b_{j-1}-k) \]

令 \(v_x=\max_{(l,r,k)\in Q,l\le i\le r,l\le x\le r}(a_x-b_{x-1}-k)\)，则 \(f_i\gets \max_{j=1}^i v_j+b_i\)

考虑对于每个位置 \(x\) 维护一个集合 \(K_x=\{k\mid (l,r,k)\in Q,l\le i\le r,l\le x\le r\}\)，则需要维护三种操作：

1. 区间内 \(K\) 插入一个数
2. 区间内 \(K\) 删除一个数
3. 求区间内 \(a_x-b_{x-1}-\min K_x\) 的最大值

使用标记永久化容易做到 \(O((n+q)\log^2 n)\)

显然将所有插入操作提到求 \(f\) 之前不会影响答案，此时按 \(k\) 从大到小的顺序插入，则每个结点上的 \(K\) 从大到小，vector 保存 \(K_x\)，懒惰删除即可

总时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

代码

参考