做题记录 25.7.24

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1675G Sorting Pancakes

令 \(f_{i,j,k}\) 表示填完 \(1\sim i\) 且 \(a\) 不升，\(\sum a_{1\sim i}=j,a_i=k\) 的最小花费，转移为

\[f_{i+1,j+p,p}\gets f_{i,j,k}+\left|j+p-\sum a_{1\sim i+1}\right|\quad (p\le k,j+p\le m) \]

只转移 \(\ne \inf\) 的 \(f_{i,j,k}\) 即可通过，时间复杂度 \(O(nm^3)\)

存在 \(O(nm^2)\) 的方法

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1673F Anti-Theft Road Planning

令移到 \((x,y)\) 位置时，返回值的累计异或和为 \(b_x,b_y\) 二进制位交错排列的结果，其中 \(b_x\) 表示第 \(x\) 位格雷码的值，可证满足条件

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1677D Tokitsukaze and Permutations

显然对于一组合法的 \(v\)，反推出的 \(p\) 唯一（从后往前依次考虑即可推出 \(p\)）

\(v\) 合法的必要条件为 \(v_i\in[0,i)\)，满足这一条件的 \(v\) 有 \(n!\) 个，而 \(p\) 也有 \(n!\) 种，因此满足这一条件的 \(v\) 和 \(p\) 构成双射

一次操作后，\(v_i\gets \max(0,v_{i+1}-1)\)，\(v_n\gets 0\)

\(k\) 次操作后，\(v_k\gets \max(0,v_{i+k}-k)\)，\(v_{n-k+1\sim n}\gets 0\)

对于给定的 \(v_{1\sim n}\)，若存在 \(v_i\ge i\) 或 $i\in(n-k,n]\land v_i\ne 0\land v_i\ne -1 $ 则无解

显然初始的 \(v_{1\sim k}\) 无限制，贡献为 \(k!\)

对于 \(v_i\mid 1\le i\le n-k\)，当 \(v_i=0\) 时初始的 \(v_{i+k}\in[0,k]\)，贡献为 \((k+1)\)，当 \(v_i=-1\) 时初始的 \(v_{i+k}\in[0,i+k)\)，贡献为 \((i+k)\)，其他情况无贡献

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1673E Power or XOR?

考虑一个区间 \([l,r]\) 内全都设为 \(\text{pow}\) 的贡献（显然 \(r-l+1\le n-k\)）

区间的值为 \(2^{b_l2^{\sum_{i=l+1}^r b_i}}\)，当 \(r-l+1>21\) 时值 \(\bmod 2^{2^{20}}\) 等于 \(0\)，不产生贡献，因此只需要考虑 \(21n-O(1)\) 个区间即可

令 \(B(n,m)=\sum_{i=m}^n \binom ni\) 表示 \(n\) 个元素中至少选 \(m\) 个的方案数，对于一个区间 \([l,r]\)，它计入答案的次数为 \(B(n-(r-l+1)-[l>1]-[r<n],\max(0,k-[l>1]-[r<n]))\)，为奇数时计入答案

而 \(B(n,m)\equiv \binom{n-1}{m-1}\bmod 2\)，\(\binom{n-1}{m-1}\) 拆为三个阶乘相乘除的形式，转化为求一个 \(x!\) 有多少因子 \(2\)，容易 \(O(\log V)\) 求

总时间复杂度 \(O(n\log V+V)\)（其中 \(V=2^{20}\)）

代码

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