做题记录 25.7.8

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1691F K-Set Tree

枚举 \(u\)，计算包含 \(k\) 个点的最小子树的根为 \(u\) 时的答案

设删除 \(u\) 后得到的连通块的集合为 \(S\)（即 \(S\) 为一个集族）

当根为 \(u\) 时，要在 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 中选择 \(k\) 个，且至少属于 \(S\) 中的两个连通块，方案数为 \(\binom nk-\sum_{s\in S}\binom{|s|}k\)，贡献系数为 \(n\)，即总贡献为 \(n\left(\binom nk-\sum_{s\in S}\binom{|s|}k\right)\)

对于 \(s\in S\)，当根在 \(s\) 中时，根有 \(|s|\) 种选法，贡献系数为 \(n-|s|\)，选择 \(k\) 个点的方案数为 \(\binom {n-|s|}k-(\sum_{t\in S}\binom{|t|}k-\binom{|s|}k)\)，总贡献为 \(|s|(n-|s|)\left(\binom {n-|s|}k-(\sum_{t\in S}\binom{|t|}k-\binom{|s|}k)\right)\)

容易 \(O(|S|)\) 计算一个 \(u\) 的贡献

总时间复杂度 \(O(n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1695D2 Tree Queries (Hard Version)

特判 \(n=1\) 和链的情况

显然选择全体叶子一定合法，也显然不一定最优

对于叶子 \(u\)，令 \(U_u\) 为从 \(u\) 开始走到第一个度数 \(>2\) 的点（无根树情况下），令 \(S=\{U_u\}\)

对于每个 \(u\in S\)，可以选择一个直接连接的叶子（即两者间没有第二个度数 \(>2\) 的点），取消对这个叶子的选择，显然操作后 \(n\) 个点仍然可以区分

可证已经取到最优

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考