做题记录 25.7.5

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1698F Equal Reversal

对于每个值建立一个点，对于序列中相邻两个数 \((a,b)\)，\(a\) 向 \(b\) 连有向边，将序列 \(a\) 建为图，则一次操作相当于选择图上一个环，改变环上边的方向

令 \(F(a)=[(min(u,v),\max(u,v))\mid u=a_i,v=a_{i+1}]\)，即以 \(a\) 建图后图上边的可重集（视为无向边），显然 \(a\) 可以转化为 \(b\) 的必要条件为 \(a_1=b_1,a_n=b_n\)，\(F(a)=F(b)\)，以下通过构造说明这是充分条件

假定已经令 \(a_{1\sim i}=b_{1\sim i}\)，令 \(x=a_i=b_i\)，令 \(y=a_{i+1},z=b_{i+1}\)，\(y=z\) 时直接跳到下一个位置

若 \(y\ne z\)，尝试在 \(a_{i+1\sim n}\) 中找到一对相邻的 \((z,x)\)，若找到了，则设 \(a_p=z,a_{p+1}=x\)，翻转 \(a_{i\sim p+1}\)

若没有找到，显然此时 \(F(a_{i+1\sim n})=F(b_{i+1\sim n})\)，因此 \(a_{i+1\sim n}\) 中一定存在相邻的 \((x,z)\)，设 \(a_p=x,a_{p+1}=z\)，若能找到 \(i\le l\le p,p+1\le r\le n,a_l=a_r\)，则翻转 \(l\sim r\) 后转化为第一种情况

可证 一定能选出这样的 \(l,r\)

容易做到 \(O(n^3)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1697F Too Many Constraints

建立 \(2nk\) 个点 \((i,j,0/1)\;1\le i\le n,1\le j\le k\)，其中点 \((i,j,0)\) 表示 \(a_i>j\)，\((i,j,1)\) 表示 \(a_i\le j\)，连边类似 \(2-\text{SAT}\)

显然 \(\forall i,v\)，\((i,v-1,1)\to (i,v,1)\)（同时连接 \((i,v,0)\to (i,v-1,0)\)，下同），\((i+1,v,1)\to (i,v,1)\)（保证递增），强制选择 \((n,k,1)\)（即连 \((n,k,0)\to(n,k,1)\)）

对于 \(a_i\ne x\) 的限制，\(x=1\) 时强制选择 \((i,1,0)\)，否则 \((i,x,1)\to (i,x-1,1)\)

对于 \(a_i+a_j\le x\) 的限制，若 \(x\le k\) 则强制选择 \((i,x-1,1)\) 和 \((j,x-1,1)\)，\(\forall u\)，令 \(v=x-u-1\)，连 \((i,u,0)\to(j,v,1)\) 和 \((j,u,0)\to (i,v,1)\)

\(a_i+a_j\ge x\) 类似

建出图后处理方式类似 \(2-\text{SAT}\)

时间复杂度 \(O(\sum (nk+mk))\)

代码

参考