做题记录 25.7.2

\(\textcolor{black}\odot\) CF1710E Two Arrays

将 \(a\) 和 \(b\) 从小到大排序，显然不改变答案（注意起点位置可能变化，设移到 \((sx,sy)\)）

二分答案（显然答案在 \([1,a_{sx}+b_{sy}]\) 中），设为 \(M\)，令 \(\le M\) 的点为 \(\text A\) 结束的点，\(>M\) 的点为 \(\text B\) 结束的点，从 \((sx,sy)\) 出发，每次可以修改 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标之一

显然从 \(\le M\) 的点出发一定会移到 \(<M\) 的点，反之同理，因此为二分图

二分图博弈先手必胜当且仅当起点为最大匹配必经点，等价于原图和删去 \((sx,sy)\) 后的图最大匹配相同

最大匹配等于总点数减去最大独立集，因此考虑求出最大独立集

考虑如何求出一张图的最大匹配，左部点占据一个类似杨表的形状，剩余部分为右部点

令第 \(i\) 行中 \(1\sim lr_i\) 为左部点，第 \(j\) 列中 \(1\sim ud_j\) 为左部点

则可证图的一个最大独立集为选择一个 \((x,y)\)，取 \((1\sim x,1\sim y)\) 中的左部点和 \((x+1\sim n,y+1\sim m)\) 中的右部点，令数量为 \(F(x,y)\)，通过一定预处理容易 \(O(1)\) 求出（注意特殊处理删去的点）

发现 \(mx_x=\text{arg max} F(x,\ast)\) 单调，因此可以双指针

时间复杂度 \(O((n+m)\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1705E Mark and Professor Koro

答案等于 \(\lfloor\log_2(\sum 2^{a_i})\rfloor\)，容易线段树维护

时间复杂度 \(O(q\log V)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1706D2 Chopping Carrots (Hard Version)

令 \(S_i=\{\lfloor\frac{a_i}x\rfloor\mid x\in\mathbb N^+\}\)，然后扫描值域，双指针出 \([l,r]\) 满足 \([l,r]\cap \bigcup_{i=1}^n S_i\ne\mathbb\emptyset\) 的范围跟新答案

暴力实现时间复杂度 \(O(\sum n\sqrt V)\)，空间复杂度 \(O(n\log V)\)，无法接受

考虑值域从大到小扫描，对于每个 \(a_i\)，初始在桶中插入 \(\max S_i\)，扫描完 \(\max S_i\) 后向桶中插入 \(\text{max 2nd} S_i\)，然后清空 \(\max S_i\)，保证空间复杂度为 \(O(n+V)\)

时间复杂度不变

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1701F Points

令 \(h_i\) 表示 \(i\) 处是否有点，\(c_i=\sum_{x=1}^d h_{i+x}\)，一次操作对 \(c\) 的影响为区间加或减，线段树维护 \(c,\binom{c}2\) 的区间和即可，时间复杂度 \(O(q\log V)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1701E Text Editor

先 \(O(n)\) 特判无法匹配的情况

对于可以匹配的情况，显然最优解有两类：只进行 \(\text{left}\) 和 \(\text{backspace}\)，这一类操作次数为 \(n-\text{lcp}(s,t)\)，容易 \(O(n)\) 求出；先进行 \(\text{left}\) 和 \(\text{backspace}\) 使一段后缀匹配，然后进行一次 \(\text{home}\)，然后进行 \(\text{right}\) 和 \(\text{backspace}\) 使得一段前缀匹配，前后缀不交，考虑如何求出这一类的操作次数

将序列划分为三段，先操作后缀使之匹配，然后跳到前面操作前缀，中间部分已经匹配

令 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(s_{1\sim i}\) 和 \(t_{1\sim j}\) 匹配，当前在第 \(k\) 段

显然 \(f_{0,0,\ast}=0\)，这一类解的答案为 \(f_{n,m,2}+1\)（要加上 \(\text{home}\) 的一次操作）

若不匹配当前字符，则转移为

\[f_{i,j,0}\gets f_{i-1,j,0}+2\\ f_{i,j,2}\gets f_{i-1,j,2}+1 \]

若 \(s_i=t_j\)，则考虑匹配两者，转移为

\[f_{i,j,k}\gets f_{i-1,j-1,k}+[k\ne 1] \]

若跳到下一段，则转移为

\[f_{i,j,k}\gets f_{i,j,k-1} \]

时间复杂度 \(O(\sum n^2)\)，使用滚动数组空间复杂度做到 \(O(n)\)，用 short 则 \(O(n^2)\) 空间也可过

代码

参考