做题记录 25.7.1

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1713E Cross Swapping

发现 \(a_{i,j}\) 只可能与 \(a_{j,i}\) 互换

令 \(s_i\) 表示是否操作 \((i,i)\)，则 \(a_{i,j}\) 和 \(a_{j,i}\) 互换当且仅当 \(s_i\ne s_j\)

依次枚举 \((i,j)\mid j>i\)，对于目前考虑的 \((i,j)\)，若 \(a_{i,j}=a_{j,i}\) 则跳过，否则若 \(a_{i,j}<a_{j,i}\) 优先尝试令 \(s_i=s_j\)，否则尝试令 \(s_i\ne s_j\)，若失败则只能使用另一种情况，用并查集维护

时间复杂度 \(O(\sum n^2\alpha(n^2))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1712E2 LCM Sum (hard version)

显然可以转化为求 \(\binom{r-l+1}3-\sum_{l\le i<j<k\le r}[\text{lcm}(i,j,k)<i+j+k]\)

设 \(x=\text{lcm}(i,j,k)\)，令 \(a=\frac xi,b=\frac xj,c=\frac xk\)，显然有 \(a>b>c\)，且 \(\text{lcm}(i,j,k)<i+j+k\) 等价于 \(\frac 1a+\frac1b+\frac1c>1\)

当 \(c\ne 1\) 时：

若 \(c\ge 3\) 则 \(\frac1a<\frac1b<\frac1c=\frac13\)，必然有 \(\frac1a+\frac1b+\frac1c<1\) 不成立，因此 \(c=2\)

同理 \(b\ge 4\) 时不成立，可得 \(b=3\)

而 \(\frac1a+\frac1b+\frac1c>1\)，即 \(\frac1a+\frac13+\frac12>1\)，即 \(a<6\)

综上 \((a,b,c)\) 为 \((5,3,2)\) 或 \((4,3,2)\)，因此 \(i:j:k\) 等于 \(3:4:6\) 或 \(6:10:15\)，即这种情况的贡献为 \(\max(0,\lfloor\frac r6\rfloor-\lceil\frac l3\rceil+1)+\max(0,\lfloor\frac r{15}\rfloor-\lceil\frac l6\rceil+1)\)

当 \(c=1\) 时显然条件必然成立，因此转化为求 \(\sum_{l\le i<j<k\le r}[i\mid k][j\mid k]\)

对于一个 \(l\)，令 \(cnt_i=\sum_{l\le x<i}[l\mid i]\)，则 \(\sum_{l\le i<j<k\le r}[i\mid k][j\mid k]=\sum_{i=l}^r \binom{cnt_i}2\)

离线询问，对 \(l\) 从大到小扫描线，一个 \(l\) 对 \(cnt\) 的影响不超过 \(\frac Vl\) 处，用树状数组维护 \(\binom{cnt_2}2\) 的区间和，并回答询问

时间复杂度 \(O(t\log V+V\log^2 V)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1710C XOR Triangle

一组 \((x,y,z)\) 合法当且仅当 \((x\oplus y)+(x\oplus z)>(y\oplus z),(y\oplus x)+(y\oplus z)>(x\oplus z),(z\oplus x)+(z\oplus y)>(x\oplus y)\)，显然位之间独立，枚举可得对于任意 \((x,y,z)\mid (x,y,z\in\{0,1\})\) 都有 \((x\oplus y)+(x\oplus z)\ge(y\oplus z),(y\oplus x)+(y\oplus z)\ge(x\oplus z),(z\oplus x)+(z\oplus y)ge(x\oplus y)\)，因此三个条件各只要有一位满足即可

令 \(dp_{i,0/1,0/1,0/1,0/1,0/1,0/1}\) 表示 \(i\sim n\) 位中 \(x,y,z\) 分别是否贴到 \(n\)，\((x\oplus y)+(x\oplus z)>(y\oplus z),(y\oplus x)+(y\oplus z)>(x\oplus z),(z\oplus x)+(z\oplus y)>(x\oplus y)\) 的位分别是否出现

转移是简单的

时间复杂度 \(O(n)\)，常数较大

代码

参考