2025.6.27 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 #P1254. 倍杀 \(\quad\) SP707 TFSETS - Triple-Free Sets

题意

给定 \(n\)，求出 \(\sum_{S\subseteq([1,n]\cap\mathbb N)}[\exists x\in S,2x\in S\land 3x\in S]\)，\(n\le5\times10^7\)，多测 \(t\le5\)

分析

显然等于 \(2^n-\sum_{S\subseteq([1,n]\cap\mathbb N)}[\forall x\in S,2x\notin S\lor 3x\notin S]\)，考虑如何计算 \(\sum_{S\subseteq([1,n]\cap\mathbb N)}[\forall x\in S,2x\notin S\lor 3x\notin S]\)

建立 \(n\) 点的图，\(x\to 2x\)，\(x\to 3x\)，则转化为给图黑白染色，使得不存在 \(x,2x,3x\) 同时染黑色，求染色方案数

每个 \(i\) 分解为 \(i=2^p\times 3^q\times r\)，其中 \(p\) 为满足 \(2^p\mid i\) 的最大值，\(q\) 为满足 \(2^q\mid i\) 的最大值，\(2\nmid r,3\nmid r\)，记为 \((p,q,r)\)

则 \((p,q,r)\) 连向 \((p+1,q,r)\) 和 \((p,q+1,r)\)，\(2^p3^qr\le n\) 的 \((p,q,r)\) 存在

显然每个 \((\ast,\ast,r)\) 之间独立，考虑其中一个

其形状类似杨表，要计算其染色方案数

从下到上考虑每一行，令 \(f_s\) 表示前一行染色为 \(s\) 的方案数，\(g_s\) 表示当前行染色为 \(s\) 的方案数，其中 \(s\) 为一个集合，保存了染为黑色的位置

对于 \(g_s\)，令 \(p=\{x\mid x\in s\land x+1\in s\}\)，则 \(p\) 中的位置可以染为黑色，即 \(g_s\gets f_t\mid t\subseteq p\)

总时间复杂度 \(O(t(n+\log_2 n\log_3 n\times \log_2 n \log_3 n2^{\log_3 n}))=O(t(n+n^{\log_32}\log^4 n))\)，需要一定程度的卡常

代码

T2 #P1255. 展望 \(\quad\) P11750 「TPOI-1D」谢谢您。

题意

给定 \(a_{1\sim n},l_{1\sim m},r_{1\sim m}\)，\(q\) 次询问，每次给定 \(L,R,k\)，求出 \(\max_{L\le i\le R}\sum_{l_i\le x\le r_i}[a_x=k]\)，\(n,m,q\le2\times10^5\)

分析

考虑根号分治，令阈值为 \(S\)

令 \(p_k\) 为 \(a\) 中值 \(k\) 出现位置的集合

对于 \(|p_k|>S\) 的询问，枚举 \(k\)（这样的 \(k\) 不超过 \(\frac nS\) 个），对于每个 \(k\)，\(O(n)\) 求出每个前缀中 \(k\) 的数量，据此 \(O(m)\) 求出每个 \([l_i,r_i]\) 的答案，建立线段树，然后枚举对应的询问处理，这部分时间复杂度 \(O(\frac nS(n+m)+q\log m)\)

然后考虑 \(|p_k|\le S\) 的询问

一组询问 \((L,R,k)\) 的答案，等于枚举 \(u\in p_k\)，求出 \(v=\max_{L\le i\le R,l_i\le u}r_i\)，\(\sum_{i=u}^v [a_i=k]\) 的最大值

从 \(1\) 到 \(n\) 扫描，设目前扫描到 \(x\)，维护 \(b_{1\sim m}\mid b_j=[l_j\le x]r_j\)，则每到一个新的 \(x\)，先枚举 \(l_i=x\) 的 \((l_i,r_i)\) 令 \(b_{i}\gets r_i\)，然后枚举询问 \((L,R,k)\mid k=a_x\)，令其答案对 \(cnt(i,\max_{L\le i\le R}b_i,a_i)\) 取 \(\max\)，其中 \(cnt(L,R,v)\) 表示 \(a[L:R]\) 中 \(v\) 的数量

对 \(b\) 的修改为 \(m\) 次单点取 \(\max\)，\(O(Sq)\) 次求区间 \(\max\)，分块套 \(\text{ST}\) 表维护 \(b\)，做到 \(O(\sqrt m)\) 修改，\(O(1)\) 查询

每个 \(cnt\) 容易 \(O(\log n)\) 求出，发现对于一个询问，其对应的 \(cnt(L,R,k)\) 中 \(L\) 和 \(R\) 分别单调递增，双指针即可，总移动距离为 \(O(qS)\) 的

这部分时间复杂度 \(O(m\sqrt m+qS)\)

总时间复杂度 \(O(\frac nS(n+m)+q\log m+m\sqrt m+qS)\)，空间复杂度 \(O(\sqrt m(\sqrt m\log\sqrt m)+n+q)=O(m\log m+n+q)\)，取 \(S=\sqrt{\frac{n(n+m)}q}\) 可做到 \(O(q\log m+m\sqrt m+\sqrt{qn(n+m)})\)

代码

T3 #P1256. AT_arc616_byd \(\quad\) CF1621I Two Sequences 加强版

题意

对于 \(a_{1\sim n}\)，定义对 \(a\) 的一次操作为依次考虑 \(l=1\sim n\)，用 \(a\) 中长为 \(l\) 的字典序最小的子串覆盖最后 \(l\) 个位置，\(q\) 次询问 \((x,y)\)，求出 \(x\) 次操作后的 \(a_y\)，\(a_i,x,y\le n\le4\times10^5,\;q\le10^6\)

分析

考虑其中一个 \(l\) 的操作

设选择的为 \([x,x+l)\)，则 \(\forall 0\le i<l,a_{n-l+i}\gets a_{x+i}\)，等价于把 \(a[x,n-l]\) 复制一份插入它之后，然后保留前 \(n\) 个值，等价于用 \(a[x,n-l+1]\) 替换 \(a_{n-l+1}\) 后保留前 \(n\) 个值，等价于选择 \(a[1,n-l+1]\) 的任意非空后缀替换 \(a_{n-l+1}\) 后保留前 \(n\) 个值

显然选择的子串字典序最小等价于变换后的 \(a\) 字典序最小，因此对于一个 \(l\)，它对 \(a\) 的改变为：选择 \(a[1,n-l+1]\) 的任意非空后缀替换 \(a_{n-l+1}\) 后保留前 \(n\) 个值，使得变换后的 \(a\) 最小

因此一次操作转化为依次考虑 \(l=n\sim 1\)，选择 \(a[1,l]\) 的任意后缀替换 \(a_l\) 后保留前 \(n\) 个值且使得变换后字典序最小

此时每个 \(l\) 独立，一次操作转化为：对于每个 \(1\le i\le n\) 选择一个 \(1\le f_i\le i\)，选好后对于每个 \(1\le i\le n\) 将 \(a_i\) 替换为 \(a[f_i,i]\)（替换同时进行），只保留前 \(n\) 个值，使得变换后的字典序最小

从后往前考虑每个 \(f_i\)，令 \(mn_i\) 为 \([1,i]\) 的最小后缀，令 \(c_i\) 为满足 \((mn_i)^{c_i}\) 为 \([1,i]\) 的后缀 的最大值，可证 \(f_{i+1}=i+1\) 时 \(f_i=i-|mn_i|+1\)，否则 \(f_i=i-c_i|mn_i|+1\)（显然 \(f_n\) 取两者最终得到的序列相同）

问题转化为求出 \(|mn_i|\) 和 \(c_i\)

求出 \(|mn_i|\) 后 \(c_i\) 可二分解决，具体地设二分的值为 \(x\)，若 \(a[i-|mn_i|x+1,i-|mn_i|]=a[i-|mn_i|(x-1)+1,i]\) 则 \(c_i\ge x\)，否则 \(c_i<x\)

因此考虑如何求出 \(|mn_i|\)

求出后缀数组，令 \(p_i=\min_{j=1}^i rk_j\) 表示 \([1,i]\) 中对应后缀字典序最小的位置，则 可证 \(mn_i\) 为 \([p_i,i]\) 的最短 \(\text{Border}\)（此处 \(\text{Border}\) 可包含原串，下同）

按 \(1\sim n\) 的顺序枚举 \(i\)，维护 \(S=\{j\mid a[j,i]\text{ is Border of }a[p_i,i]\}\)，则 \(|mn_i|=i-\max S+1\)，维护方式为先加入 \(i\)，然后删除最大值直到最大值对应位置合法（即用栈保存 \(S\)）

可证 有效操作次数不超过 \(O(\log\log n)\)，因此时间复杂度 \(O(n\log n\log\log n+q)\)

代码

参考

比赛结果

\(25+30+25\)，\(\text{rk}11\)