做题记录 25.6.24

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1725E Electrical Efficiency

枚举质数 \(p\)，保留 \(p\mid a_i\) 的 \(a_i\)，用这些位置建立虚树，转化为统计虚树上选择三个点 \(u<v<w\)，求 \(f(u,v,w)\) 之和

而

\[\begin{aligned} &\sum_{u<v<w}f(u,v,w)\\ =&\frac 16\sum_{|\{u,v,w\}|=3}f(u,v,w)\\ =&\frac 16\sum_{|\{u,v,w\}|=3}\frac 12(dis(u,v)+dis(v,w)+dis(u,w))\\ =&\frac 1{12}\sum_{|\{u,v,w\}|=3}(dis(u,v)+dis(v,w)+dis(u,w))\\ =&\frac 1{12}\cdot 3\sum_{u\ne v}dis(u,v)\\ =&\frac 14\sum_{u\ne v}dis(u,v)\\ \end{aligned} \]

转化为求出虚树上两两距离和，枚举每条边的贡献即可

时间复杂度 \(O(n\omega(V)\log n)\)，其中 \(\omega(V)\) 表示值域内不同质因子数量的最大值

建立虚树时需要用 \(O(n\log n)-O(1)\) \(\text{lca}\)

代码