做题记录 25.6.23

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1728G Illumination

将 \(p\) 排序

令 \(pr_{i,j}\) 表示位置 \(0\sim i\) 中最小的未覆盖关键点为 \(p_j\) 的方案数，\(sf_{i,j}\) 表示位置 \(i\sim d\) 中最大的未覆盖关键点为 \(p_j\) 的方案数

对于询问 \(f\)，答案为 \(\sum_{l,r} pr_{f-1,l}sf_{f+1,r}(d+1-[l\le r]\max(f-p_l,p_r-f))\)

\(pr\) 和 \(sf\) 计算方式类似，以 \(pr\) 为例，显然 \(pr_{0,1}=1\)，若 \(i\) 位置不存在灯则 \(pr_{i,j}=pr_{i-1,j}\)，否则

\[pr_{i,m+1}\gets pr_{i,m+1}(d+1)\\ pr_{i,j}\gets pr_{i-1,j}|p_j-i|\\ \forall k>j,pr_{i,k}\gets pr_{i-1,j}(r-l+1),l=\max(i-p_j,p_{k-1}-i),r=\begin{cases}p_k-i-1&k\le m\\d&k=m+1\end{cases} \]

总时间复杂度 \(O((n+q)m^2+dm)\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1728E Red-Black Pepper

预处理 \(f_i\) 表示选择 \(i\) 个红色的最大权值，\(f_0=\sum_i b_i\)，令 \(v_i\gets a_i-b_i\)，将 \(v\) 从大到小排序后 \(f_i=v_i+f_{i-1}\)

对于一次询问 \(x,y\)，求出 \(ax+by=n\) 的通解 \(a=a_0+kd\)，则 \(ax\) 取值范围为一个等差数列，当公差 \(>\sqrt n\) 时暴力，小于时预处理，时间复杂度 \(O(n\sqrt n+m\sqrt n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1726E Almost Perfect

在置换环上，对于三个位置 \(u\to v\to w\)，令 \(p\gets p^{-1}\) 后变为 \(u\gets v\gets w\)，此时要求 \(|u-w|\le 1\)

即排列合法等价于每个置换环上任意两个相距可以为 \(2\)（即其中一个走两次可以到达另一个）的点的值相差不超过 \(1\)

显然大小为 \(1\) 或 \(2\) 的环必然合法，令 \(f_i\) 表示 \(i\) 个有标号点分为互不区分的一元环或二元环的方案数，则 \(f_i=f_{i-1}+(i-1)f_{i-2}\)

大小 \(=3\) 或 \(\ge 5\) 的奇环根据距离为 \(2\) 重排，要求任意一对相邻的相差 \(\le 1\)，且环长 \(\ge 3\)，任取连续三个发现无解，对于大小 \(\ge 6\) 的偶环同理（分解为两个）

因此只需要考虑四元环，此时要求相对的位置值相差 \(1\)，即在值域上选择两对相邻的

枚举有 \(t\) 个四元环，选择 \(t\) 个两对相邻的数方案数为 \(\binom{n-2t}{2t}\)，这 \(2t\) 对组合为 \(t\) 组的方案数为 \((2t-1)!!\)（双阶乘），每个四元环有两种定向，系数为 \(2^t\)，剩余 \(n-4t\) 个点的贡献为 \(f_{n-4t}\)，总贡献为 \(\binom{n-2t}{2t}2^tf_{n-4t}(2t-1)!!\)

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1725K Kingdom of Criticism

先忽略单点修改，则建立并查集，用 set 保存目前存在的值，unordered_map 保存目前存在的值到对应集合代表元的映射，查询操作直接在并查集上跳即可，修改操作则在 set 中二分出范围，分别把代表元并起来，显然这样时间复杂度为单 \(\log\)

然后考虑加入单点修改，在以上的基础上在位置和之间增加一重映射，每个值建立一个点，位置的点指向值的点，每次区间操作合并后从 set 中删去 \([l,r]\) 中的值，下次出现单点赋为这一值时新建对应值的点

时间复杂度 \(O((n+q)\log (n+q))\)

代码

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