做题记录 25.6.20

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1730F Almost Sorted

按位置依次填数，令 \(x+1\) 为最小的未填入的数（即 \(1\sim x\) 填入，\(x+1\) 未填入），则所有已经填入的数都 \(\le x+k+1\)，且当前填入的数 \(\le x+k+1\)，这样可以保证符合限制

令 \(f_{i,S}\) 表示 \(1\sim i\) 都填入，\(i+1\) 未填入，\(i+1\sim i+k+1\) 的填入状态为 \(S\)，最小逆序对数

时间复杂度 \(O(n^2+nk2^k)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1730E Maximums and Minimums

单调栈预处理左侧第一个 \(\ge a_i\) 的位置 \(pge_i\)，右侧第一个 \(>a_i\) 的位置 \(sg_i\)，左侧第一个 \(<a_i\) 的位置 \(pl_i\)，右侧第一个 \(<a_i\) 的位置 \(sl_i\)

枚举最大值在 \(a_i\)，枚举 \(d\mid a_i\)（预处理每个数的因子集合），令 \(l=pge_i+1\)，\(r=sg_i-1\)，转化为求 \(\sum_{l\le ll\le i\le rr\le r}[\min_{i=ll}^{rr}a_i=d]\)

\(d=a_i\) 的情况特殊处理（容易做到 \(O(n)\)）

\(d<a_i\) 时，令 \(L\) 为 \(i\) 左侧第一个 \(d\) 的位置（不存在则为 \(0\)），\(R\) 为 \(i\) 右侧第一个 \(d\) 的位置（不存在则为 \(n+1\)）

显然 \(L\ge l\) 且 \(sl_L\ge i\) 时 \([L,i]\) 才合法，\(R\) 同理

当 \([L,i]\) 合法且 \([i,R]\) 合法时，左端点在 \([\max(l,pl_L+1),L]\)，右端点在 \([R,\min(r,sl_R-1)]\) 的区间都合法

当 \([L,i]\) 合法（\([i,R]\) 不要求）时，左端点在 \([\max(l,pl_L+1),L]\)，右端点在 \([i,\min(r,R-1,sl_L-1)]\) 的区间都合法

\([i,R]\) 同理

总时间复杂度 \(O(V\log V+\sum nd\log n)\)，可以做到 \(O(V\log V+\sum nd)\)

代码

参考