做题记录 25.6.16

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1749F Distance to the Path

令 \(adv_{u,d}\) 表示子树 \(u\) 内到 \(u\) 的距离为 \(d\) 的点的权值增量

则点 \(u\) 的答案为 \(\sum_d adv_{f^d_u,d}\)，其中 \(f^d_u\) 表示 \(u\) 的 \(d\) 级祖先

对于修改 \((u,v,k,d)\)，令 \(l=\text{lca}(u,v)\)，路径 \(u-v\) 拆为 \(u-l\)（不含 \(l\)），\(l\)，\(l-v\)（不含 \(l\)）三部分，要使三部分不交，则第一、三部分都只考虑子树内且距离恰好等于 \(d\)，第二部分为完整的

每条直链可以拆为两条从 \(1\) 到某个结点的链（含两端），即 \(adv_{(u,f_u,f_{f_u},\cdots,1),d}\) 加上 \(k\)，转化为单点加和子树求和，每个 \(adv_{\ast,d}\) 开一个树状数组即可

时间复杂度 \(O(md\log n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1740F Conditional Mix

令 \(c_x\) 为 \(a_i=x\) 的数量

相当于把 \(\{a\}\) 划分为若干集合，满足同一集合中数互不相同，求划分出的集合的大小构成的可重集的数量

对于一种划分 \(X\)，若存在 \(S_1\in X,S_2\in X\)，且 \(|S_1|>|S_2|\)，则 \(S_1\) 中至少存在一个元素和 \(S_2\) 中所有数都不同，把它划分到 \(S_2\) 中仍然为一种合法划分

因此对于可重集 \(S\)，将其中的数从大到小排列为 \(v_{1\sim n}\)（若 \(|S|<n\) 则补 \(0\)），若可以得到 \(S\)，则可以使 \(v\) 变为满足 \(\forall 1\le i\le n,\sum v_{1\sim i}\ge v'_{1\sim i}\) 的 \(v'\)，即 \(\{v'\}\) 同样可以得到

将 \(c\) 从大到小排序后，\(\sum v_{1\sim i}\) 的上限为 \(s_i=\sum_{i=1}^n \min(i,c_i)\)

因此对于所有 \(v_{1\sim n}\) 满足 \(\forall i,\sum v_{1\sim i}\le s_i\) 且 \(v\) 单调不升，\(\{v\}\) 都可被表示出，因此转化为求满足要求的 \(v\) 的数量

令 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(v_{1\sim i}\) 和为 \(j\)，最小值（最后一个值）\(\ge k\) 的方案数，初始 \(f_{0,0,\ast}=1\)，转移为

\[f_{i,j,k}=f_{i,j,k+1}+f_{i-1,j-k,k} \]

由于 \(k\le \frac ni\)，滚动数组容易做到时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1737E Ela Goes Hiking

对于一个 \(\text L\)，一开始会先合并上它左侧连续的一段 \(\text R\)，设操作完后剩余 \(k\) 个 \(\text L\)，合并得到的大小分别为 \(s_{1\sim k}\)，令 \(p\) 为满足 \(\sum_{i=1}^{p-1} s_i\le s_p\) 的最大值，则最终剩下第 \(p\) 个 \(\text L\)

特别地，无论第 \(n\) 个选择了什么，都视为 \(\text L\)

位置 \(p\) 为最终剩下的位置当且仅当 \((\lfloor\frac p2\rfloor,p)\) 中都是 \(\text R\)，\(p\) 位置为 \(\text L\)，且 \((i,n]\) 中不存在 \(i\) 满足 \((\lfloor\frac i2\rfloor,i)\) 都是 \(\text R\) 且 \(i\) 位置为 \(\text L\)

总方案数为 \(2^{n-1}\)，考虑求出合法方案数求出概率

显然 \(p\) 位置之前的方案数为 \(2^{\lfloor\frac p2\rfloor}\)，令 \(f_p\) 为后一部分的方案数，则 \(f_n=1\)，\(f_i=\sum_{j=i+1}^{2i-1} f_j\)，\(p\) 位置的概率为 \(\frac{2^{\lfloor\frac p2\rfloor}f_p}{2^{n}}\)

容易前缀和优化做到 \(O(\sum n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1736C2 Good Subarrays (Hard Version)

令 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为左端点能取到的最大长度，则 \(f_i=\min(f_{i-1}+1,a_i)\)，答案为 \(\sum_i f_i\)

对于修改 \((p,x)\)，设修改后的 \(f\) 为 \(f'\)，则 \(f'_{1\sim p-1}=f_{1\sim p-1}\)，\(f'_p=\min(f_{p-1}+1,x)\)

令 \(q\) 为第一个 \(>p\) 且满足 \(f'_q=a_q\) 的位置（若不存在则 \(q=n+1\)），则 \(f'_q\) 之后的都可确定，考虑预处理 \(g_q\) 表示 \(f_q=a_q\) 时 \(\sum f_{q\sim n}\) 的值，则这部分贡献为 \(g_q\)

\(\forall p<i<q\)，\(f'_i=f'_{i-1}+1\)，得到 \(q\) 后容易计算这部分总和

问题转化为求 \(q\) 和 \(g_{1\sim n}\)

对于一个询问 \((x,p)\)，若一个 \(q\) 合法，则 \(f'_{q-1}=f'_p+(q-p-1)\)，由于 \(f'_q=a_q\)，可得 \(a_q< f'_p+q-p\)，即 \(a_q-q<f'_p-p\)

把所有 \((a_i,i)\) 和询问的 \((f'_p,p)\) 并在一起按 \(a_i-i\) 和 \(f'_p-p\) 从小到大排序，依次考虑，用集合 \(S\) 维护目前为止可以作为 \(q\) 的位置集合，若当前扫到 \((a_p,p)\)，令 \(q\) 为 \(S\) 中第一个 \(>p\) 的，则 \(g_p=g_q+\sum_{i=0}^{q-p-1}(v+i)\)，若扫到 \((f'_p,p)\)，则答案为 \(s_{p-1}+\sum_{i=0}^{q-p-1}(v+i)+g_q\)

时间复杂度 \(O((n+m)\log(n+m))\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1738F Connectivity Addicts

将点按 \(d\) 从大到小排序，设目前最大的未染色点为 \(u\)，依次询问 \(u\) 的出点，若已染色，则将之前问到的点（包括 \(u\)）染为当前点的颜色，并退出，否则继续，直到询问完所有出点，则新建一种颜色

每次的询问次数不超过染上颜色的点的数量，因此总询问次数不超过 \(n\)

代码

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