做题记录 25.6.7

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1777F Comfortably Numb

分治，分别考虑最大值在左侧和最大值在右侧的情况，枚举最大值所在的一侧，双指针出另一侧的范围，用 \(\text{trie}\) 保存另一侧的异或和，总时间复杂度 \(O(n\log n\log V)\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1776J Italian Data Centers

对于一个点 \(i\)，令第 \(k\) 次时它分裂出的一个点为 \((i,\overline s)\)，则令 \(k+1\) 次分裂出的为 \((i,\overline{s0})\) 和 \((i,\overline{s1})\)

则对于初始的边 \((u,v)\)，若 \(c_u=c_v\)，则 \(\forall 0\le i<2^k\)，\((u,i)\) 和 \((v,i)\) 连边，否则 \((u,i)\) 和 \((v,\lnot i)\) 连边

对于点 \(i\)，\((i,\ast)\) 内部的连边同 \(k\) 维立方体的棱

对于所有 \((i,\ast)\)，只保留 \((i,0)\) 和 \((i,2^k-1)\)，\(2n\) 个点按上述方式连边，答案为 \(\lfloor\frac12\max_{1\le i,j\le n}(dis((i,0),(j,0))+dis((i,0),(j,1))+k)\rfloor\)，即最长环的一半

时间复杂度 \(O(n^3)\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1776D Teamwork

贪心，枚举时刻，按做最后一题的时间降序考虑每个人，对于每个人按做题时间降序考虑每种题，若当前时刻此人可以做这道题，则跟新，可证这样最优

时间复杂度 \(O(l)\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1776C Library game

显然 \(\text A\) 的最优决策为从大到小枚举 \(a_i\)，从左往右找到第一个可以容纳 \(a_i\) 的位置放置

对于 \(\text B\)，设 \(\text B\) 希望 \(\text A\) 在放置 \(a_p\)（排序后第 \(p\) 大）时无法操作，则 \(\text B\) 希望在操作到 \(a_p\) 之前令所有位置 \(k\cdot a_p\mid 1\le k\le\lfloor\frac{m}{a_p}\rfloor\) 都被放置，因此要求 \(\lfloor\frac{m}{a_p}\rfloor<p\)，即 \(p\cdot a_p>m\)，此时 \(\text B\) 的最优决策为选择给定区间中任意一个 \(a_p\) 的倍数位置（若不存在则说明对方不是最优决策，此时任意选择即可）

因此 \(\exists p,p\cdot a_p>m\) 时 \(\text B\) 必胜，否则 \(\text A\) 必胜

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1778F Maximizing Root

显然每次选择 \(\gcd\) 最优

特判 \(k=0\)，则答案一定为 \(d\cdot a_1\)，其中 \(d\mid a_1\)

\(V=1000\) 时合法的 \(d\) 的数量不超过 \(32\)，因此从大到小依次尝试 \(d\)，即求出能否在 \(k-1\) 次操作内令所有 \(a_i\) 都是 \(d\) 的倍数

令 \(gd_u\) 为子树 \(u\) 内权值的 \(\gcd\)，令 \(csq(u)=\min_{u\mid c^2} c\)

令 \(F(u,d)\) 表示要使子树 \(u\) 内的权值都是 \(d\) 的倍数所需的最小操作次数

当 \(d\mid gd_u\) 时 \(F(u,d)=0\)

当 \(d\nmid gd_u,d\mid gd_u^2\) 时 \(F(u,d)=1\)

当 \(d\nmid gd_u^2\)，且 \(u\) 为叶子或 \(d\nmid a_u^2\) 时，\(F(u,d)=\infty\)

否则 \(F(u,d)=1+\sum_{v\in son(u)}F(v,csq(d))\)

时间复杂度 \(O(nD)\)，其中 \(D=32\) 为最大因子数量

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1775F Laboratory on Pluto

显然 \(a=\lfloor\sqrt n\rfloor,b=\lceil\frac na\rceil\) 时周长取到最小，构造方案是容易的

计算方案数相当于给定 \(s\ge 0\) 求出把 \(s\) 分配到四个角落的方案数 \(g_s\)，其中 \(s=O(\sqrt n)\)，显然不会形成一个额外的行

令 \(f_s\) 表示一个角落的情况，则 \(g=f^4\)，容易 \(O((\sqrt n)^2)=O(n)\) 卷积

\(f_s\) 相当于 \(s\) 的拆分数，容易 \(O((\sqrt n)^2)=O(n)\) \(dp\)

\(u=1\) 时总时间复杂度 \(O(\sum n)\)，\(u=2\) 时总时间复杂度 \(O(\sum \sqrt n)\)

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1774F2 Magician and Pigs (Hard Version)

维护可重集 \(S\) 和非负整数 \(u\)，初始 \(S=\mathbb\emptyset,u=0\)，操作 \(1\) 转化为 \(S\gets S\cup\{x\}\)，操作 \(2\) 转化为 \(S\gets \{v-x\mid v\in S\},u\gets u+x\)，操作 \(3\) 转化为 \(S\gets S\cup \{v-u\mid v\in S\},u\gets 2u\)，最终答案为 \(|\{v\in S\mid v>0\}|\)

考虑一个操作 \(1\)，设加入的值为 \(x\)，之后的 \(3\) 操作依次在 \(p_{1\sim t}\)，\(p_i\) 处的 \(u\) 为 \(x_i\)，从当前操作到结束为止操作 \(2\) 的 \(x\) 的总和为 \(s\)，则 \(x\) 对应到最终集合中的 \(x-s-[0/1]x_1-[0/1]x_2-\cdots-[0/1]x_t\)，且满足 \(x_i\ge 2x_{i-1}\)

问题转化为给定 \(x_{1\sim t}\) 和 \(b\)，满足 \(x_i\ge2x_{i-1}\)，求出有多少 \(S\subseteq x\) 满足 \(\sum S<b\)

从大到小扫描 \(x_i\)，若 \(b>x_i\) 则答案加上 \(2^{i-1}\)，最终答案加上 \(1\)

当 \(x_1>0\) 时 \(t=O(\log V)\)，因此需要特判一段前缀 \(0\)

总时间复杂度 \(O(n\log V)\)

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