做题记录 25.6.5

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1790G Tokens on Graph

点 \(1\) 处本身就有棋子的情况显然合法，特判

点 \(i\) 可以到 \(1\) 的必要条件为存在 \(1\) 到 \(i\) 的路径，满足路径上除了 \(1\) 和 \(i\) 外都是关键点

对于每个 \(i\) 求出所有满足上述条件的路径中最小的长度，容易 \(\text{bfs}\) \(O(n+m)\) 求出

对于 \(i\)，若存在路径且 \(i\) 处存在棋子，设最短长度为 \(x\)，则点 \(i\) 合法当且仅当从 \(i\) 处移除一个棋子后，剩余棋子的最大总移动步数之和不小于 \(x-1\)，显然棋子之间独立

对于点 \(x\) 处的棋子，若 \(x\) 为关键点且存在关键邻点，显然每个棋子都可无限移动

若 \(x\) 不是关键点，且存在一个存在关键邻点的邻点，则同样可以无限移动

若 \(x\) 不是关键点且存在关键邻点，且 \(x\) 所有关键邻点都不存在关键邻点，则 \(x\) 上每个棋子只能移动一步

若 \(x\) 不是关键点且不存在关键邻点，则不可移动

求出总移动步数后减去 \(i\) 处一个棋子的移动步数即可

时间复杂度 \(O(\sum (n+m))\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1788F XOR, Tree, and Queries

令 \(a_i\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 的链的边权异或和，则限制 \((u,v,x)\) 相当于令 \(a_u\oplus a_v=x\)

边带权并查集维护所有 \(a_i\) 之间的关系，若存在矛盾则无解

显然 \(a_1=0\)，强制令 \(a_0=0\)，将 \(a_0\) 和 \(a_1\) 所在集合合并，并强制令 \(a_0\) 为代表元

令 \(F(i)\) 表示 \(i\) 所在集合的代表元，每个代表元可以有一个未知量 \(X_{F(i)}\)，特别地 \(X_0=0\)，这样实际上 \(a_i=X_{F(i)}\oplus d_i\)，其中 \(d_i\) 可在并查集中维护

令 \(w_i\) 为 \(i\) 到 \(f_i\) 的边权，\(w_1=0\)，则 \(w_i=a_{f_i}\oplus a_i=X_{F(i)}\oplus X_{F(f_i)}\oplus d_i\oplus d_{f_i}\)

答案为 \(\bigoplus_{i=2}^n w_i\)，可表示为 \(c\oplus \bigoplus_{u\in S}X_u\)，若 \(S\ne \mathbb\emptyset\)，则从 \(S\) 中取出任意一个 \(X_u\) 赋值为 \(c\)，剩余的 \(X_\ast\) 赋为 \(0\)，显然这样保证了所有边权的异或和最小

得到 \(X\) 后容易推出每条边的边权

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1787F Inverse Transformation

等价于给定一个排列 \(p\)，给出经过 \(k\) 次 \(p_i\gets p_{p_i}\) 的变换后的 \(p'\)，要求初始的 \(p\) 置换环数量最小，构造出一个合法的 \(p\)

经过一次变换后，偶环裂为大小相同的两个，奇环大小不变但内部置换

因此对于最终的 \(p'\)，设大小为 \(sz\) 的置换环有 \(c_{sz}\) 个，当 \(2\mid sz\) 且 \(2^k\nmid c_{sz}\) 时无解

否则考虑把 \(c_{sz}\) 二进制拆分，\(>2^k\) 的进一步拆分，得到的每一组在开始时对应一个置换环，显然这样数量最少

构造方案可参考官方题解

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1789F Serval and Brain Power

\(k=2\) 和 \(k=3\) 时枚举分界点，求出 \(k\) 段的 \(\text{lcs}\) 即可，时间复杂度 \(O\left(n^{k-1}\cdot \left(\frac nk\right)^k\right)=O\left(\frac{n^{2k-1}}{k^k}\right)\)

\(k=4\) 的情况包含于 \(k=2\) 的情况，不需要考虑

\(k>4\) 时，显然对于一种取子串的方式，原串中必然存在一个长为 \(\lfloor\frac nk\rfloor\) 的区间完全包含一个周期，\(O(n2^{\frac nk})\) 枚举，\(O(n)\) 匹配即可

总时间复杂度 \(O\left(\sum_{k\le n,k\in\mathbb P}\min\left(\frac{n^{2k-1}}{k^k},n^22^{\frac nk}\right)\right)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1789E Serval and Music Game

对于 \(x\mid s_n\)，\(f(x)=\sum_{i=1}^n [\frac{s_n}x\mid s_i]\)，枚举 \(\frac{s_n}x\) 的倍数暴力统计即可

对于 \(x\nmid s_n\)，根据 \(\lfloor\frac{s_n}x\rfloor\) 划分为 \(O(\sqrt {s_n})\) 段，则段内的 \(f(x)\) 相同

令 \(k=\lfloor\frac{s_n}x\rfloor\)，此时 \(f(x)=\sum_{i=1}^n [\lfloor\frac{s_i}k\rfloor\ge s_i\bmod k]\)，当 \(s_i\ge k^2\) 时显然成立，\(s_i<k^2\) 时枚举 \(0\le \lfloor\frac{s_i}k\rfloor<k\)，预处理 \(s\) 的桶的前缀和，容易 \(O(\sqrt {s_n})\) 计算一个 \(f(x)\)

总时间复杂度 \(O(\sum (\sum_{d\mid s_n}\frac{s_n}x+\sqrt{s_n}\cdot \sqrt {s_n}))=O(\sum s_n\log\log s_n)\)

代码

参考