做题记录 25.6.4

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1795G Removal Sequences

考虑先求出一种合法的移除序列，容易通过拓扑排序 \(O(n+m)\) 求出

对于原图中的 \(u-v\)，若移除序列中 \(u\) 在前则定向为 \(u\to v\)，否则定向为 \(v\to u\)（可在排序过程中顺便求出）

若得到的图中 \(u\) 和 \(v\) 之间可达，则点对 \((u,v)\) 不合法

设可达点对数量为 \(S\)，则答案为 \(\binom n2-(S-n)\)（\(n\) 是因为可达点对包括形如 \(u\to u\) 的）

分块用 bitset 求出 \(S\) 即可

时间复杂度 \(O(\frac {n^2}\omega)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1795F Blocking Chips

显然具有单调性，因此二分答案，得到每个点需要移动的步数，转化为判定

令 \(ln_u\) 为 \(u\) 处的人需要移动的步数，若 \(u\) 处没有人则 \(ln_u=-1\)

\(\text{dfs}\) 过程中，令 \(dep_u\) 为从 \(u\) 出发向子树中行走，不经过已覆盖点的最大步数，\(dep_u=\max_{v\in son(u),ln_v=-1} dep_v+1\)

若 \(dep_u\ge ln_u\)，则当前点合法

否则需要向上走，若 \(u\) 为根或 \(ln_{fa_u}\ne -1\) 则当前点不合法

否则令 \(ln_{fa_u}\gets ln_u-1\)，当前点暂时合法

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1794E Labeling the Tree with Distances

在 \(\text{dfs}\) 过程中用线段树维护当前点到所有点的距离，每次移动一条边时对线段树的修改相当于 \(O(1)\) 个区间加

令可重集 \(S=\{a\}\)，令可重集 \(D=\{dis(u,i)\mid 1\le i\le n\}\)，则 \(u\) 合法当且仅当 \(\exists u\in D,S\cup \{u\}=D\)

由于 \(S\cup \{u\}=D\) 的必要条件为 \(\sum S+u=\sum D\)，而 \(\sum S\) 和 \(\sum D\) 容易计算，因此 \(u\) 是确定的

令可重集 \(S\) 的哈希值为 \(\sum_{u\in S}{base}^u\bmod mod\)，容易维护加减的影响

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1793E Velepin and Marketing

等价于分为 \(k\) 组，对于一组 \(S\) 贡献为 \(\sum_{i\in S}[a_i\le |S|]\)

将 \(a\) 从小到大排序

产生贡献的是 \(a\) 的一段前缀一定不劣，若不是前缀则换为等长的前缀并按值大小依次替换答案一定不减

每个组包含这段前缀的一个区间一定不劣，若两个组产生贡献的部分相交，设两组中产生贡献的集合为 \(s_1,s_2\)，假定 \(|s_1|\le |s_2|\)，则取 \(s_1\cup s_2\) 中的前 \(|s_1|\) 小作为 \(s_1'\)，剩余作为 \(s_2'\)，显然这样调整两个集合中的数仍然都产生贡献

设产生贡献的为 \(a_{1\sim x}\)，则可以认为每个组包含 \([1,x]\) 的一个子区间和 \((x,n]\) 的一个子区间（显然不产生贡献的 \(a\) 可以任意重排），对于组 \(S\)，令 \(L(S)\) 为前者，\(R(S)\) 为后者

至多一个 \(S\) 使得 \(L(S)\) 和 \(R(S)\) 都非空一定不劣，设 \(S_1\) 和 \(S_2\) 均满足，则调整为 \((S_1\cup S_2)/\{\max(\max R(S_1),\max R(S_2))\}\) 和 \(\{\max(\max R(S_1),\max R(S_2))\}\) 答案不减

显然分组越多，贡献越小，因此考虑计算出 \(g_i\) 表示 \(a_{1\sim i}\) 产生贡献（即总贡献为 \(i\)）时最多分组数量，由 \(g\) 容易得到答案

最优情况下，产生贡献的组成若干个完整的组和至多一个不完整的组，不产生贡献的一部分和产生贡献剩余的拼为一个组（且这个组大小等于组内产生贡献的最大 \(a_i\)），剩余每个不产生贡献的 \(a_i\) 自成一组

令 \(f_i\) 表示 \(a_{1\sim i}\) 产生贡献时完整的组的最大数量

显然 \(f_0=g_0=0\)

当 \(i<a_i\) 时，要使 \(i\) 产生贡献，必须选择 \(a_{1\sim i}\) 和之后的 \(a_i-i\) 个 \(a_\ast\) 拼出大小为 \(a_i\) 的一个组（即不完整组），因此 \(f_i=0\)，\(g_i=n-a_i+1\)（剩余 \(n-a_i\) 个分别自成一组）

当 \(i\ge a_i\) 时，要使 \(i\) 产生贡献，选择 \(a_{i-a_i+1\sim i}\) 作为一组最优，此时 \(f_i=f_{i-a_i}+1\)，\(g_i=f_i+n-i\)（除了 \(a_{1\sim i}\)，剩余 \(n-i\) 个自成一组）

\(f\) 需要取前缀 \(\max\)

总时间复杂度 \(O(n\log n+q)\)，使用桶排容易做到 \(O(n+q)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1792E Divisors and Table

暴力分解 \(m_1,m_2\) 后组合，求出 \(m\) 的因子，数量不超过 \(2\times10^6\)

将因子排序后，对于 \(d\) 要找到最小的 \(x\) 满足 \(x\mid d,1\le x\le n,1\le \frac dx\le n\)，即 \(\lceil\frac dn\rceil\le x\le n\)，二分找到第一个 \(\ge \lceil\frac dn\rceil\) 的，然后暴力向后找，时间复杂度未知但可过

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1792F1 Graph Coloring (easy version)

假设删去蓝色的边，则一张图合法当且仅当对于任意点的大小大于 \(1\) 的子集，其导出子图连通和其导出子图的补图连通恰好有一个成立，特别地完全图和无边的图不合法（最终答案减 \(2\) 即可忽略这一限制）

整张图要么是连通的，要么补图是连通的，令 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点的图原图连通的方案数，则最终答案为 \(2f_n-2\)，边界条件为 \(f_1=1\)

转移时枚举补图中 \(i\) 所在连通块大小 \(j\)，当 \(j<i-1\) 时剩余部分方案数为 \(2f_{i-j}\)（连通或补图连通），这 \(j\) 个点方案数为 \(f_j\)（补图连通），选择点的方案数为 \(\binom{i-1}{j-1}\)，两部分之间的边必须都连上以保证整张图连通

当 \(j=i-1\) 时不需要乘以 \(2\)

转移方程为

\[f_i\gets (2-[j=i-1])f_{i-j} f_j\binom{i-1}{j-1} \]

时间复杂度 \(O(n^2)\)

经过卡常可过 \(\text{hard version}\)

代码

参考