做题记录 25.6.3

$\textcolor{purple}\odot$ CF1801F Another n-dimensional chocolate bar

令 $f_{i,j}$ 表示 $b_{1\sim i}$ 已经确定，$\prod b_{i+1\sim n}\ge j$ 时，$\prod_i\lfloor\frac {a_i}{b_i}\rfloor\frac1 {a_i}$ 的最大值

则 $f_{0,k}=1$，答案为 $f_{n,1}$，转移为

\[f_{i,\lceil\frac jx\rceil}\gets f_{i-1,j}\left\lfloor\frac{a_i}x\right\rfloor\frac1{a_i} \]

由于 $\lceil\frac jx\rceil=\lfloor\frac{j-1}x\rfloor+1$，令 $g_{i,j}=f_{i,j+1}$，则有

\[g_{0,k-1}=1\\ g_{i,\lfloor\frac jx\rfloor}\gets g_{i-1,j}\left\lfloor\frac{a_i}x\right\rfloor\frac1{a_i} \]

发现 $g$ 的第二维只需要保存 $\{\lfloor\frac {k-1}x\rfloor\}$ 这 $O(\sqrt k)$ 个数即可（特判 $k=1$ 的情况），而转移时对于 $\lfloor\frac jx\rfloor$ 相同的一段 $x$ 只需要取 $x$ 最小的转移，即对于 $g_{i-1,j}$ 只需要枚举 $O(\sqrt j) $ 个 $x$ 即可

总时间复杂度 $O(nk^{\frac 34})$（分析同杜教筛）

代码

参考

$\textcolor{purple}\odot$ CF1799F Halve or Subtract

显操作后的 $a$ 可以分为四类：没有变化的，减 $b$ 的，除以 $2$ 的，同时减和除的

对于第四种情况显然先除后减最优

因此 $a_i$ 可能变为 $a_i,\;\lceil\frac{a_i}2\rceil,\;\max(0,a_i-b),\;\max(0,\lceil\frac{a_i}2\rceil-b)$ 之一

显然第四种取排序后的一个前缀最优

因此枚举 $0\le k\le n$，假定 $\forall 1\le i\le k,a_i\gets \max(0,\lceil\frac{a_i}2\rceil-b)$，显然为了满足限制必须有 $k_1+k_2-n\le k\le \min(k_1,k_2)$，因此枚举 $\max(0,k_1+k_2-n)\le k\le \min(k_1,k_2)$

剩下 $k_1-k$ 个除，$k_2-k$ 个减

显然两者用到 $a_{k+1\sim k_1+k_2-k}$ 上最优

令 $p$ 为最后一个满足 $a_i\ge b$ 的位置

对于 $a_{k+1\sim p}$，区间中显然除取一个前缀减取一个后缀最优

对于 $a_{p+1\sim k_1+k_2-k}$，区间中间取一个前缀除取一个后缀最优

因此 $a_{k+1\sim k_1+k_2-k}$ 中，一个长为 $k_2-k$ 的区间取减，剩余部分取除最优

预处理减、除后 $a$ 的前缀和，对于每个 $k$ 枚举区间左端点

总时间复杂度 $O(\sum n^2)$

代码

参考

$\textcolor{blue}\odot$ CF1799E City Union

令 $L_i$ 为第 $i$ 行前缀 $\text.$ 的数量，$R_i$ 为后缀的数量，则合法的必要条件为 $L$ 和 $R$ 单峰

因此先求出初始的 $L$ 和 $R$，令 $L_i\gets \min(\max L_{1\sim i},\max L_{i\sim n})$，$R$ 同理

转化后，网格中的 $\text \#$ 形成若干个左上到右下或左下到右上分布的连通块，这些连通块之间直接最短路连接即可

时间复杂度 $O(\sum nm\log \min(n,m))$，可以优化到 $O(\sum nm)$

代码

参考

$\textcolor{purple}\odot$ CF1797E Li Hua and Array

令 $i$ 向 $\varphi(i)$ 连边，得到一棵树，则操作二相当于求 $\sum_{i=l}^r dep_{a_i}-(r-l+1)dep_{\text{lca}_{i=l}^r a_i}$

势能线段树，每个结点维护区间 $dep$ 和与区间 $\text{lca}$，及一个标记表示区间内是否都是 $1$

对于操作 $1$ 若区间中数都是 $1$ 则返回，否则暴力递归到叶子并修改，这部分总时间复杂度不超过 $O(n\log V\log n\log\log V+m\log n\log\log V)$（其中 $\log\log V$ 为求两个数字 $\text{lca}$ 的时间复杂度，树高为 $O(\log V)$）

对于操作二，得到区间内两个信息后直接求即可，时间复杂度 $O(m\log n\log\log V)$

总时间复杂度 $O(V+V\log\log V+n\log V\log n\log\log V+m\log n\log\log V)$

代码