做题记录 25.5.28

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1826F Fading into Fog

先问一次 \(y=0\)，然后问一次 \(x=0\)，得到 \(x\) 坐标的集合与 \(y\) 坐标的集合，从而得到 \(n^2\) 个可能的点，然后选择一条斜率足够小的直线（例如 \(y=\frac x{1000}\)，需要保证在 \(1e-3\) 的误差下，\((x,y)\mid |x|\le 100,|y|\le 100,x,y\in \mathbb Z\) 投影到的点可以被区分），从而得到真正的 \(n\) 个点，显然必须询问至少三次

实现时需要注意误差

时间复杂度 \(O(\sum n^3)\)，可以做到 \(O(\sum n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1824B2 LuoTianyi and the Floating Islands (Hard Version)

当 \(2\nmid k\) 时显然重心唯一，因此期望为 \(1\)

否则对于一种选择点的方案，重心数量为\(k\) 个点的虚树的两个重心在原树上的路径上的点的数量，等于两个重心在原树上的距离加一，把 \(+1\) 提到期望外，考虑如何计算合法方案重心距离之和

枚举边 \((u,f_u)\)，则它的贡献为

\[\binom{sz_u}{\frac k2}\binom{n-sz_u}{\frac k2} \]

总时间复杂度 \(O(n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1826E Walk the Runway

理出 \(ok_{i,j}\) 表示是否能 \(i\to j\)，得到后容易 \(O(n^2)\) \(dp\)（按任一维度排序的顺序转移）

考虑如何计算 \(ok_{i,j}\)

枚举每个维度，将 \(n\) 个位置按这一维度从小到大排序，扫描的过程中用 bitset 维护目前为止合法的位置，然后按位与到 \(ok\) 上

时间复杂度 \(O(mn\log n+\frac{n^2m}\omega)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1824C LuoTianyi and XOR-Tree

基本类似 [NFLS #P13045. 智慧树](http://www.nfls.com.cn:10611/p/P13045

用 unordered_set 和 unordered_map 可以做到 \(O(n\log n)\)，但常数过大，set 和 map 做到 \(O(n\log^2 n)\) 足够通过

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1823F Random Walk

对于点 \(u\)，显然所有边 \(u\to \ast\) 经过的次数都相同，令 \(f_u\) 表示 \(u\) 的出边的期望经过次数，则 \(f_t=0\)，点 \(u\) 的答案等于 \(f_u\times deg_u\)，特别地 \(t\) 的答案为 \(1\)

考虑计算 \(f\)

若 \(u\to v\) 在 \(s\to t\) 上，则 \(u\to v\) 的经过次数恰好比 \(v\to u\) 的次数多 \(1\)，因此 \(f_u=f_v+1\)

否则双向经过次数相同，\(f_u=f_v\)

以 \(t\) 为根进行一次 \(\text{dfs}\) 容易求出 \(f\)

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1823E Removing Graph

图由若干环组成，整张图的 \(\text{SG}\) 函数值等于所有环的 \(\text{SG}\) 函数值的异或和，考虑求出一个 \(n\) 点的环的 \(\text{SG}\) 函数值

令 \(n\) 点的链的函数值为 \(\text{sg}(n)\)，则

\[\text{sg}(n)=\text{mex}_{l\le t\le r,0\le s\le n-t}(\text{sg}(s)\oplus \text{sg}(n-t-s)) \]

令 \(n\) 个点的环的函数值为 \(\text{SG}(n)\)，则

\[\text{SG}(n)=\text{mex}_{l\le t\le r}\text{sg}(n-t) \]

找规律可得 \(\text{SG}(n)=\begin{cases}\left\lfloor\frac nl\right\rfloor&n<l+r\\0&n\ge l+r\end{cases}\)

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1819C The Fox and the Complete Tree Traversal

可证只有毛毛虫的情况合法，这种情况的构造是容易的

代码

参考