做题记录 25.5.27

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1834F Typewriter

显然答案的下界为 \(\sum_i[p_i<i]\)，可证能取到这个下界

询问的过程中只会出现原序列的 \(n\) 个循环同构序列和逆序列的 \(n\) 个循环同构序列，共 \(2n\) 个序列，因此对于原序列和逆序列分别处理出每个循环同构序列的答案，考虑每个元素贡献到的循环区间即可

时间复杂度 \(O(n+q)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1832D2 Red-Blue Operations (Hard Version)

将 \(a\) 从小到大排序

\(k<n\) 时，最优方案显然为 \(\forall 1\le i\le k,a_i\gets a_i+(k-i+1)\)，令 \(b_i=a_i-i+1\)，\(p_i=\min_{j=1}^i b_j\)，则此时答案为 \(\min(k+p_k,a_{k+1})\)

\(k\ge n,2\mid (k-n)\) 时，设位置 \(x\) 修改了 \(t\) 次，值分别为 \(v_{1\sim t}\)，则这个位置最终的值为 \(a_x+v_1-v_2+\cdots -(-1)^t v_t\)，显然 \(2\mid t\) 时值 \(\le a_x\)，\(2\nmid t\) 时值 \(>a_x\)，即位置操作奇数次更优，因此 \(n\) 个位置都操作一次，然后每次一个位置操作两次，这样 \(n\) 个位置操作次数都是奇数，一定不劣

假设先确定了 \(n\) 个位置最后操作的一次，然后每次在这之前增加两个操作，则最优情况为最后 \(n\) 次操作为 \(a_i\gets a_i+(k-i+1)\)，之前每一对操作令一个 \(a_i\) 减一

问题转化为有 \(v_i\mid v_i=b_i+k\)，每次选择一个 \(v_i\) 减去 \(1\)，恰好操作 \(\frac{k-n}2\) 次后，最大化最小值

初始最小值为 \(p_n+k\)，令 \(s=\sum b_i\)，先消耗 \(\min(s-np_n,\frac{k-n}2)\) 次操作尽量令所有 \(v_i\) 都变为 \(p_n+k\)，之后每消耗 \(n\) 次操作答案减一，不足 \(n\) 次视为 \(n\) 次，因此答案为 \(p_n+k-\left\lceil\frac{\max(0,\frac{k-n}2-(s-np_n))}n\right\rceil\)

\(k\ge n,2\nmid (k-n)\) 时，舍弃 \(a_n\) 的 \(+(k-n+1)\)，此时最小值 \(mn=\min(p_{n-1}+k,a_n)\)，最后 \(n-1\) 次操作后总和变为 \(s-(k-n+1)+kn\)，类似 \(2\mid (k-n)\) 的情况得到答案为 \(mn-\left\lceil\frac{\max(0,\frac{k-n+1}2-(s-(k-n+1)-n(mn-k)))}n\right\rceil\)

时间复杂度 \(O(n\log n+q)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1830C Hyperregular Bracket Strings

若区间 \([l,r]\) 和 \([L,R]\) 相交，设 \(l\le L\le r\le R\)，则 \([l,L)\)，\([L,r]\)，\((r,R]\) 都需要是合法括号序列

若区间 \([l,r]\) 包含 \([L,R]\)，即 \(l\le L\le R\le r\)，则 \([L,R],[l,L)\cup (R,r]\) 都需要是合法括号序列

对于 \(n\) 个位置，按覆盖到它的区间的集合，划分为若干等价类，则同一等价类中的位置，从左到右取出后必须组成合法括号序列，使用异或哈希即可

时间复杂度 \(O(\sum (n+k))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1827D Two Centroids

设目前为止一个重心为 \(u\)，令 \(S_u\) 为删去 \(u\) 后剩余的连通块，则答案为 \(n-2\max_{s\in S_u}|s|\)

维护当前的 \(u\) 和 \(\max_{s\in S_u}|s|\) 即可，配合树状数组容易做到 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1830D Mex Tree

令 \(s_0\) 为数上 \(0\) 的连通块的大小的可重集，\(s_1\) 为 \(1\) 的连通块大小的可重集，则答案为 \(n(n+1)-\sum_{u\in s_0}\frac{u(u+1)}2-2\sum_{u\in s_1}\frac{u(u+1)}2\)，因此需要最小化 \(\sum_{u\in s_0}\frac{u(u+1)}2+2\sum_{u\in s_1}\frac{u(u+1)}2\)

令 \(dp_{u,0/1,s}\) 表示子树 \(u\) 中，\(u\) 值为 \(0/1\)，\(u\) 所在连通块大小为 \(s\) 时，上述值的大小

取黑白染色得到的结果，\(\sum_{u\in s_0}\frac{u(u+1)}2+2\sum_{u\in s_1}\frac{u(u+1)}2\) 为 \(O(n)\) 的，而 \(s\) 为 \(O(\sqrt n)\) 时，代价就达到 \(O(n)\) 了，因此 \(dp\) 第三维是 \(O(\sqrt n)\) 的

直接合并复杂度为 \(O(n\sqrt n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) P3295 [SCOI2016] 萌萌哒

对于限制 \((l,r,L,R)\)，相当于 \(\forall 0\le i<r-l+1\)，\(l+i\) 和 \(L+i\) 所在连通块合并

考虑 \(\text{ST}\) 表优化，建立 \(\lfloor\log_2(n)\rfloor+1\) 层并查集，第 \(i\;(0\le i\le \lfloor\log_2(n)\rfloor)\) 层中 \(j,k\) 在同一集合中表示 \(\forall 0\le s<2^i\)，\(j+s\) 和 \(k+s\) 在同一连通块中

一个限制容易转化为 \(O(\log n)\) 组区间合并

从 \(i\) 层下放到第 \(i-1\) 层时，对于位置 \(j\)，设第 \(i\) 层中 \(j\) 所在集合代表元为 \(k\)，则在 \(i-1\) 层中合并 \(j\) 和 \(k\)，\(j+2^{i-1}\) 和 \(k+2^{i-1}\)

时间复杂度 \(O((n+q)\log n\alpha(n))\)，应该可以做到 \(O((n\log n+q)\alpha(n))\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1827C Palindrome Partition

若 \([l,r]\) 长为偶数且回文，连接 \(l-1\) 和 \(r\)，则区间 \([l,r]\) 合法当且仅当 \(l-1\) 和 \(r\) 连通

对于每个 \(1\le i<n\) 求出最大的 \(p_i\) 使得 \([i-p_i+1,i+p_i]\) 回文，容易 \(\text{manacher}\) \(O(n)\) 求出

于是需要对于所有 \(1\le s\le p_i\)，\(i-s\) 和 \(i+s\) 连边，拆点后转化为 P3295 [SCOI2016] 萌萌哒，\(\text{ST}\) 表优化即可

时间复杂度 \(O(\sum n\log n\alpha(n))\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1827B2 Range Sorting (Hard Version)

先考虑计算一个区间 \([l,r]\) 的答案

定义 \(l\le p<r\) 为分界点当且仅当 \(\max_{i=l}^p a_i<\min_{i=p+1}^r a_i\)

当操作有交时，直接操作并显然不劣，因此最终操作的是若干不交区间

若存在一些位置没有被覆盖到，则视为这些位置分别单独操作一次，代价不变

因此可以视为把 \([l,r]\) 划分为若干区间，代价为区间长度减一之和，等于 \(r-l+1\) 减去区间数量，由于代价要最小，因此区间要最多

显然能从 \(p\) 和 \(p+1\) 之间断开当且仅当 \(p\) 为分界点

因此答案为 \(r-l+1\) 减分界点数量加一的和

所有子段的 \(r-l\) 之和等于 \(\sum_{i=2}^n (i-1)(n-i+1)\)，考虑求出所有区间的分界点数量之和

枚举 \(1\le b\le n\)，令前一半的 \(\max\) 在 \(b\) 处，令 \(a\) 为 \(b\) 之前第一个大于 \(b\) 的位置，令 \(c\) 为 \(b\) 之后第一个大于 \(b\) 的位置，令 \(d\) 为 \(c\) 之后第一个小于 \(b\) 的位置，则对于 \(l\in(a,b],r\in[c,d)\)，区间 \([l,r]\) 可从 \(c-1\) 和 \(c\) 之间断开，分解点数量之和累加 \((b-a)(d-c)\)

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

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