2025.5.23 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P12517. 王国 \(\quad\) CF1184B3 The Doctor Meets Vader (Hard)

题意

一张 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，有 \(s\) 人为攻方，其中第 \(i\) 人在 \(x_i\) 处，攻击力为 \(a_i\)，攻击范围为 \(f_i\)，价格为 \(p_i\)，有 \(b\) 人为守方，其中第 \(i\) 人在 \(x_i\) 处，防御力为 \(d_i\)，收益为 \(g_i\)，攻方每人只能选择恰好一个守方，要求双方之间距离不超过攻方的攻击范围，且攻方的攻击力不小于守方的防御力，收益为守方收益减去攻方价格（可能为负），守方可以被重复选择，存在 \(k\) 条限制形如选择了攻方第 \(i\) 个人就必须选择第 \(j\) 个人，选出攻方的一个子集使得收益最大（由于攻方必须选择一个合法的守方，若无法选择则这个攻方无法被选），求收益的最大值，\(n\le100,m\le10^4,s,b\le2\times10^5,k\le1000\)

分析

显然攻方每个人之间独立，因此容易拆为两个子问题：求出攻方每人的最大收益，选择一个合法的最优子集

对于第一个子问题，求出全源最短路，对于每个点将这个点上的守方按防御力排序，对于攻方一个人，枚举它能到达的每个点，分别二分出最大的前缀，前缀中收益最大的即为最优，若所有前缀都为空则这个攻方收益为 \(-\infty\)，这部分时间复杂度为 \(O(n^3+b\log b+sn\log b)\)

对于第二个子问题，限制建出图后，孤点直接判断即可，删去孤点后剩余连通块大小之和为 \(O(k)\) 的，对于每个连通块都相当于求最大权闭合子图，网络流即可，这部分时间复杂度 \(O(s+k\sqrt k)\)

总时间复杂度 \(O(n^3+b\log b+sn\log b+k\sqrt k)\)

代码

T2 NFLS #P1280. 取石子游戏

题意

对于 \(a_{1\sim n},c_{1\sim n}\) 和 \(m\) 进行博弈：操作方可选择一个 \(i\) 和 \(1\le x\le a_i\)，令 \(a_i\gets a_i-x\)，或选择 \(S\subseteq \{1,2,\cdots,n\}\) 满足 \(c_u\mid u\in S\) 都相同，从 \(a_u\mid u\in S\) 中总计减去一定量满足减去的总和在 \([1,m]\) 中，给定 \(m,c_{1\sim n}\) 和 \(n\) 个数集 \(A_{1\sim n}\)，对于所有 \(a_{1\sim i}\mid \forall i,a_i\in A_i\) 求出 \(a,c,m\) 博弈先手必胜的数量，\(n,m\le20,|A_i|\le10^5\)

分析

考虑给定 \(a\) 后如何判断是否先手必胜

将 \(a_i\) 根据 \(c_i\) 划分为若干集合，则集合之间独立，总体的 \(\text{SG}\) 函数等于每种颜色的值的异或和

因此只考虑 \(c\) 都相同的情况，令 \(b_i(m+1)+c_i=a_i\)，\(c_i\in[1,m]\)，可证 \(\text{SG}\) 函数值为 \((m+1)\bigoplus b+(\sum c)\bmod (m+1)\)

考虑每个 \(c\) 的等价类，求出其生成函数后异或卷积即可得到答案，考虑如何求出一个等价类的生成函数

令 \(f_{i,j,k}\) 表示当前等价类前 \(i\) 个数中，\((\sum c)\bmod (m+1)=i\)，\(\bigoplus b=j\) 的方案数，从 \(f_{i-1,\ast,\ast}\) 转移到 \(f_{i,\ast,\ast}\) 时，令 \(g_{j,k}\) 表示 \(A_i\) 中 \(b=j,c=i\) 的数量，则 \(f_{i,j}=\sum_{a+b\equiv j}f_{i-1,j}\ast g_b\)

答案容易由 \(f_{n,\ast,\ast}\) 得到

\(f\) 第二维为 \(O(\frac Vm)\) 的，因此总时间复杂度为 \(O(nV\log V+nm\frac Vm\log\frac Vm+nm^2\frac Vm)=O(nV\log V+nmV)\)

代码

T3 NFLS #18398. 好的点

比赛结果

\(100+1+40\)，\(\text{rk}41\)