做题记录 25.5.10

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1848F Vika and Wiki

显然具有单调性，倍增，则每次需要求出一个数组变换 \(2^k\) 的结果，等于 \(a_i\gets a_i\oplus a_{i+2^k}\)，容易做到 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1852C Ina of the Mountain

若 \(a_i=k\) 先令 \(a_i\gets 0\)，这样转化为有 \(a_{1\sim n}\)，每次选择一个区间减一，至少操作几次使得 \(a\) 在 \(\bmod k\) 意义下为 \(0\)

容易转化为给定 \(a_{1\sim n}\;(a_i\in[0,k))\)，每次选择 \(a\) 的一个区间加上 \(k\)，求出 \(\sum_{i=1}^n \max(0,a_i-a_{i-1})\) 的最小值

从 \(1\sim n\) 扫描 \(a\)

若 \(a_{i-1}>a_i\) 则 \(a_i\) 无贡献

若 \(a_{i-1}<a_i\)，则要么代价增加 \(a_i-a_{i-1}\)，要么选择一个 \(j<i\) 令 \(a_{j\sim i-1}\) 都加上 \(k\)，此时 \(a_{i-1}>a_i\)，\(a_{j+1\sim i-1}\) 的贡献已经计算过了，\(a_j\) 的贡献由 \(\max(0,a_j-a_{j-1})\) 变为 \(\max(0,a_j+k-a_{j-1})\)

当 \(a_j>a_{j-1}\) 时令 \(j\gets j-1\) 增加量一定不会更大，因此最优情况下选择的 \(a_j\) 之前一定无贡献，即贡献会增加 \(a_j+k-a_{j-1}\)（显然每个 \(j\) 至多被使用一次，因此 \(a_j+k-a-{i-1}\ge 0\)）

用一个堆保存 \(a_i+k-a_{i-1}\) 的集合，若 \(a_{i-1}>a_i\) 则直接加入堆，否则先把 \(a_i-a_{i-1}\) 加入堆，表示 \(a_{i-1}\) 增加 \(k\) 后的 \(a_i+k-a_{i-1}\)，然后从堆中取出最小值累加到答案上，表示选择一个可空区间加上 \(k\)，保证每个值只用一次

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1848E Vika and Stone Skipping

对于一个 \(x\)，其答案为

\[\begin{aligned} &\sum_{f\in\mathbb N^+}\left[\exists a\in\mathbb N^+,\frac{(f+(f-a+1))a}2=x\right]\\ =&\sum_{f\in\mathbb N^+}\left[\exists a\in\mathbb N^+,2f+1=a+\frac{2x}a\right]\\ =&\sum_{a\in\mathbb N^+}\left[2\nmid \left(a+\frac{2x}a\right)\right]\\ \end{aligned} \]

由于 \(2\mid 2x\)，要使 \(2\nmid \left(a+\frac{2x}a\right)\)，则 \(a\) 和 \(\frac{2x}a\) 中必然有一个包含了 \(2x\) 的所有 \(2\) 的因子，设 \(2x=p\times 2^q\)，其中 \(2\nmid p\)，则 \(a\mid p\) 或 \(\frac{2x}a\mid p\)，两者分别有 \(d(p)\) 种选择，共 \(2d(p)\) 种

由于 \(a\le f\)，因此 \(\frac{2x}a>a\)，而 \(\frac{2x}a\ne a\)，因此恰好一半的方案数不合法

即对于一个 \(x\)，合法的方案数为 \(d(p)\)，其中 \(p\) 为 \(x\) 去除所有 \(2\) 的因子的结果

问题转化为给定一个 \([1,10^9]\) 内的初始值 \(x\)，每次再给定一个 \([1,10^6]\) 内的 \(y\)，令 \(x\gets y\)，维护 \(d(x)\bmod M\)

通过维护 \(x\) 对于 \([1,10^6]\) 内每个质数的最大幂次，可转化为有可重集 \(S\)，每次加入一个值或删除一个值，维护集合内值的积，记录 \(M\) 的幂次即可

时间复杂度 \(O(\sqrt x+q\sqrt y+qy^{\varepsilon}\log y)\)，空间复杂度 \(O(y)\)，容易优化到时间复杂度 \(O(\sqrt x+y\log y+qy^{\varepsilon})\)，空间复杂度 \(O(y\log y)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1847F The Boss's Identity

发现第 \(n\times n\) 项及之后值都是相同的，因此把前 \(n\times n\) 项排列为一个 \(n\times n\) 的矩阵，显然其中每一列只有 \(O(\log V)\) 个极大等值连续段，总计 \(O(n\log V)\) 段，容易用 \(\text{ST}\) 表示 \(O(n\log n\log V)\) 求出所有段

每段保留编号最小的位置处的值，则转化为给定 \(O(n\log V)\) 个带权点，\(q\) 次询问每次求出权值大于给定值的所有点中最小的编号，容易做到 \(O(n\log n\log V+q\log n)\)

总时间复杂度 \(O(\sum (n\log n\log V+q\log n))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1845F Swimmers in the Pool

令 \(l\gets \frac12,t\gets\frac t{2l}\)，显然答案不变（此时 \(t\) 为浮点数，为了避免误差在计算时需要按照类似分数的方式）

\(x\) 时刻 \(v_i\) 和 \(v_j\) 相遇当且仅当 \(x(v_i+v_j)\in \mathbb Z\) 或 \(x(v_i-v_j)\in\mathbb Z\)

令 \(S=\{v_i+v_j\mid i\ne j\}\cup\{|v_i-v_j|\mid i\ne j\}\)，容易 \(\text{FFT}\) 或 \(\text{NTT}\) 做到 \(O(V\log V)\)，则 \(x\) 时刻为相遇时刻当且仅当 \(\exists u\in S,ux\in\mathbb Z\)

答案为

\[\begin{aligned} &\sum_{x\in\mathbb R,0<x\le t} [\exists u\in S,ux\in\mathbb Z]\\ =&\sum_{i\in\mathbb N^+,j\in\mathbb N^+,\frac ji\le t,\gcd(i,j)=1}\left[\exists u\in S,u\cdot\frac ji\in\mathbb Z\right]\\ =&\sum_{i\in\mathbb N^+,j\in\mathbb N^+,\frac ji\le t,\gcd(i,j)=1}\left[\exists u\in S,i\mid u\right]\\ \end{aligned} \]

令 \(S'=\{i\mid \exists u\in S,i\mid u\}\)，容易 \(O(V\log V)\) 得到，则答案为

\[\begin{aligned} &\sum_{i\in\mathbb N^+,j\in\mathbb N^+,\frac ji\le t,\gcd(i,j)=1}\left[i\in S'\right]\\ =&\sum_{i\in S'}\sum_{j\in\mathbb N^+,j\le ti,\gcd(i,j)=1}1\\ =&\sum_{i\in S'}\sum_{j\in\mathbb N^+,j\le ti}\sum_{d\mid i,d\mid j}\mu(d)\\ =&\sum_{i\in S'}\sum_{d\mid i}\mu(d)\left\lfloor\frac{ti}d\right\rfloor\\ \end{aligned} \]

容易 \(O(V\log V)\) 计算

总时间复杂度 \(O(V\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1845E Boxes and Balls

设最终序列中 \(1\) 的位置的数组为 \(b\)，初始序列中 \(1\) 的位置的数组为 \(a\)，则合法当且仅当 \(|a|=|b|\)，\(\sum |a_i-b_i|\le k\)，\(2\mid (k-\sum|a_i-b_i|)\)

令 \(c_i\) 为原序列 \(1\sim i\) 中 \(1\) 的数量

令 \(dp_{i,j,k}\) 表示 \(1\sim i\) 中填了 \(j\) 个 \(1\)，跨越前 \(i\) 个空隙的移动总数为 \(k\)，该情况下的方案数

转移为

\[dp_{i-1,j,k-|c_i-j|}\to dp_{i,j,k}\\ dp_{i-1,j-1,k-|c_i-j|}\to dp_{i,j,k} \]

答案为 \(\sum_{i=0}^k [i\equiv k\pmod 2]dp_{n,c_n,i}\)

直接实现为 \(O(n^2k)\) 的

发现对于 \(i\)，非 \(0\) 的 \(j\) 一定在 \(c_i\pm O(\sqrt{k})\) 的范围内

时间复杂度可做到 \(O(nk\sqrt k)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1844E Great Grids

令 \(0,1,2\) 分别表示 \(\text A,\text B,\text C\)，对于每个 \(2\times 2\) 的矩形，假设左上角为 \(0\)，则只有以下四种情况：

\[\begin{bmatrix} 0&1\\2&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&2\\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\\1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&2\\2&1 \end{bmatrix} \]

设矩形为 \(\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}\)，则必然满足 \(a+d\equiv b+c\pmod3\)，有 \(a-c\equiv b-d\) 和 \(a-b\equiv c-d\)，即相邻两行之间每一列两个元素之差为定值，列同理

令 \(c_i=a_{i,j}-a_{i+1,j}\)，\(d_i=a_{j,i}-a_{j,i+1}\)，则若 \(c_i,d_i\in \{1,2\}\) 就可描述一个合法的矩阵

考虑 \(a_{i,j}=a_{i+1,j+1}\) 的限制，相当于要求 \(c_i\ne d_j\)，同理 \(a_{i,j}=a_{i+1,j-1}\) 相当于要求 \(c_i=d_{j-1}\)

二分图染色判定合法性即可

时间复杂度 \(O(\sum (n+m+k))\)

代码

参考