做题记录 25.5.8

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1858E2 Rollbacks (Hard Version)

用一个数组保存数字，指针指向栈顶，加入数字相当于数组的单点修改和指针的移动，删除数组相当于指针移动，询问相当于查询前缀中数字种类数，撤销相当于单点修改和指针移动

转化为维护一个数组，支持单点修改和查询前缀数字数量，维护每个数字出现的位置集合，树状数组维护前缀和即可，时间复杂度 \(O(q\log q)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1856E2 PermuTree (hard version)

对于每个 \(u\) 最大化它作为 \(\text{lca}\) 的贡献，显然每个 \(u\) 之间独立，此时答案只和儿子的大小有关，设 \(u\) 的儿子大小分别为 \(s_{1\sim k}\)

问题转化为给定 \(s_{1\sim k}\)，将 \(1\sim 1+\sum s_i\) 划分为 \(k+1\) 个组，前 \(k\) 组大小分别为 \(s_{1\sim k}\)，最后一组大小为 \(1\)，设最后一组中的数为 \(v\)，则需要最大化 \((a,b)\) 的数量，满足 \(a,b\) 来自不同的组且 \(a<v<b\)

可证存在一种最优解满足每组都是一个连续段

将组按值排列，设第 \(k+1\) 组前面的组大小之和为 \(S\)，则 \((a,b)\) 的数量为 \((\sum s_i-S)S\)

问题转化为给定 \(s_{1\sim k}\)，从中选出一个子集，设子集和为 \(S\)，最大化 \((\sum s_i-S)S\)

显然为 \(0/1\) 背包，使用 bitset 可做到 \(O(\frac n\omega \sum k)=O(\frac{n^2}\omega)\)

由于 \(\sum s_i=sz_u\)，\(|\{s_i\}|=O(\sqrt {sz_u})\)

对于每种 \(s_i\)，设有 \(cnt_{s_i}\) 个，可二进制拆分，压缩到 \(O(\sqrt {sz_u}\log {sz_u})\) 个数，实际上可以证明为 \(O(\sqrt {sz_u})\) 个

然后使用 bitset 优化即可，单个 \(u\) 可做到时间复杂度 \(O(\frac{sz_u\sqrt{sz_u}}\omega)\)

但是总复杂度可以卡到 \(\~O(n^2)\)，无法接受

考虑将 \(s_i\) 中的最大值单独考虑，这样可证时间复杂度为 \(O(\frac{n\sqrt n}\omega)\) 的

需要手写 bitset 或使用特殊技巧

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1854C Expected Destruction

相当于在 \([1,m]\) 有 \(n\) 个物体，每次等概率随机选择一个向右移动一步，若同一位置有多个则只保留一个，若移到 \(m+1\) 则移除，求所有物体都移除的期望时间

若允许重叠，则答案为 \(\sum_i m+1-s_i\)

考虑重叠对答案的影响，若在 \(x\) 处两个物体重叠，则答案减少 \(m+1-x\)

显然只需要考虑相邻的 \(s\) 的重叠

设 \(s_i\) 和 \(s_{i+1}\) 有 \(P(x)\) 的概率在 \(x\) 处重叠，则会令期望减少 \(P(x)(m+1-x)\)

枚举每一对 \(s_i\) 和 \(s_{i+1}\)，令 \(dp_{x,y}\) 表示 \(s_i\) 向右移动 \(x\) 步，\(s_{i+1}\) 向右移动 \(y\) 步，且在此之前两者没有重叠过的概率

则 \(dp_{0,0}\gets 1\)，转移为

\[dp_{x+1,y},dp_{x,y+1}\gets [s_i+x\ne s_{i+1}+y]\frac12dp_{x,y} \]

令答案减少 \(\sum_{s_i+x=s_{i+1}+y}dp_{x,y}(m+1-s_i+x)\)

时间复杂度 \(O(n^3)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1849F XOR Partition

二分答案，\(a_i\oplus a_j\) 小于二分值时连边，判定是否为二分图

直接连边数量为 \(O(n^2)\)，无法接受

将点按权值从小到大排序后，若 \(x\) 和 \(x+k(k\ge 4)\) 连边，则一定不合法

证明：考虑 \(a_x\oplus a_{x+k}\) 的最高二进制位，则在这一位上 \(a[x:x+k]\) 的一个非空真前缀为 \(0\)，剩余非空真后缀为 \(1\)，这一位以上相同

由于 \(k\ge 4\)，因此 \(a[x:x+k]\) 中至少有三个数当前位取值相同，即值相异或的最高位一定在当前二进制位之下，即异或结果一定小于 \(a_x\oplus a_{x+k}\)，三者两两连边，存在奇环，一定不合法

实际上由此过程可以发现，若只保留 \(x\) 和 \(x+k(k<4)\) 的边，这张图是否为二分图和整张图是否为二分图相同

因此 \(O(\log V)\) 二分，每次 \(O(n)\) 建图染色，总时间复杂度 \(O(n\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1852D Miriany and Matchstick

令 \(f_{i,\text A/\text B,j}\) 表示 \(1\sim i\) 中 \(i\) 位置填了 \(\text A/\text B\)，分数和能否为 \(j\)，暴力 \(dp\) 为 \(O(n^2)\) 的

可证对于一个 \(f_{i,\text A/\text B,\ast}\)，合法的 \(j\) 为一个区间或一个区间删除一个点的形式

因此可用三元组 \((l,r,p)\) 表示值为 \([l,r]/\{p\}\)

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1849E Max to the Right of Min

令 \(pmn_i\) 为 \(i\) 之前第一个 \(<a_i\) 的位置，不存在则为 \(0\)，令 \(pmx_i\) 为 \(i\) 之前第一个 \(>a_i\) 的位置，不存在则为 \(0\)

扫描右端点，设当前扫到 \(r\)，则左端点在 \((pmn_r,r)\) 内的变为合法，在 \((pmx_r,r)\) 内的变为不合法，线段树维护即可

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考