做题记录 25.5.7

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1866D Digital Wallet

类似 \(0/1\) 背包的写法即可，时间复杂度 \(O(nmk)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1864F Exotic Queries

令 \(pr_i\) 为 \(i\) 之前最后一个与 \(a_i\) 相同的位置，不存在则为 \(0\)

对于一组询问 \((l,r)\)，答案为

\[\sum_{i=1}^n [l\le a_i\le r][pr_i=0\lor \exists pr_i<j<i(l\le a_j<a_i)] \]

令 \(p_i=\max\{a_j\mid pr_i<j<i,a_j<a_i\}\)，若 \(pr_i=0\) 则令 \(p_i=n\)，若集合为空则令 \(p_i=0\)

对值扫描线容易将计算 \(p_i\) 转化为单点修改和区间求 \(\max\)，线段树可做到 \(O(n\log n)\)

求出 \(p_i\) 后询问 \((l,r)\) 的答案可表示为

\[\sum_{i=1}^n [l\le a_i\le r][l\le p_i] \]

转化为二维数点，树状数组即可

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1860E Fast Travel Text Editor

容易转化为：有 \(n\) 个点，每个点有权值 \(v_i\)，每次询问给定起点和终点，从一个点可以移到相邻点或值相同的点，代价都是 \(1\)，每种询问求最小代价

建图方式为：\(\forall 1<i\le n, i-1\leftrightarrow^1 i\)，\(\forall 1\le i\le n,i\to^1 n+v_i,i\gets^0 n+v_i\)

令 \(dst_{i,j}=\text{dis}(i,j+n)\)，\(dsf_{i,j}=\text{dis}(j+n,i)\)，两者容易通过 \(0/1\) \(\text{bfs}\) \(O(nV)\) 求出

每次询问 \(O(V)\) 枚举中间到达的 \(x\)，或者直接过去，容易 \(O(V)\) 处理一组询问

时间复杂度 \(O(nV+qV)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1863G Swaps

令 \(i\) 向 \(a_i\) 连边，则组成内向基环树森林

定义交换 \(a_i\) 和 \(a_{a_i}\) 为操作点 \(i\)

若操作了点 \(i\)，设原本 \(i\to j\to k\)，若 \(j=k\) 则操作无效，否则变为 \(i\to k,j\to j\)

若令 \(i \to j\to k\) 变为 \(i\to k,j\to j\)，则标记边 \(i\to j\)

若此时要操作点 \(i\)，则沿着 \(i\) 的出边不断走，标记第一条没有被标记的边

显然一条边的所有入边中至多能标记一条

对于基环树中树的部分显然无论是否标记和标记哪条边都是合法的，令 \(in_i\) 为 \(i\) 的入度，这部分方案数为 \(\prod_{i\notin \text{circle}}(in_i+1)\)

然后考虑一个环 \(C\)，发现环上至少有一条边不能标记，且只剩一条边没有标记的方案之间等价

总方案数为 \(\prod_{i\in C}(in_i+1)\)，恰好一条边没有标记的方案数为 \(\sum_{i\in C}in_i\)，则一个环的合法方案数为 \(\prod_{i\in C}(in_i+1)-1-\prod_{i\in C}+1=\prod_{i\in C}(in_i+1)-\prod_{i\in C}\)

答案为非环的贡献乘以所有环的贡献之积

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1861E Non-Intersecting Subpermutations

令 \(f_i\) 表示不考虑 \((i,n]\) 的方案数时区间 \([i-k+1,i]\) 的贡献

则答案为 \(\sum_i f_i k^{n-i}\)

不考虑合法性，则 \(f_i=k!\times k^{i-k}\)

从中减去不合法的，枚举 \(i-k+1\le j<i\) 表示 \([j-k+1,j]\) 和 \([i-k+1,i]\) 相交，\([j-k+1,j]\) 中恰好出现了 \(1\sim k\)，两者的交 \([i-k+1,j]\) 中有 \(i-j\) 个没有出现，这 \(i-j\) 个要在 \((j,i]\) 中出现，排列方案数为 \((i-j)!\)，因此贡献为 \(f_j(i-j)!\)

因此

\[f_i=k!\times k^{i-k}-\sum_{i-k+1\le j<i}f_j(i-j)! \]

时间复杂度 \(O(nk)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1859E Maximum Monogonosity

把绝对值拆为 \(4\) 项的 \(\max\)，令 \(g_{i,j}\) 表示 \([1,i]\) 中选出若干完整段，段总长为 \(j\) 的最大价值，令 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 表示 \([1,i]\) 中选出若干段，段总长为 \(j\)，除了最后一段外都是完整段，最后一段选择了 \(a_l/-a_l\)、\(b_l/-b_l\) 的最大价值

转移是容易的，时间复杂度 \(O(\sum nk)\)

代码